Сложение и вычитание.

Значимость суммы или разности определяется значи­мостью числа с наименьшим числом десятичных знаков. Например, при сложении чисел 50,1, 2 и 0,55 значимость определяется недостоверностью числа 2 и, следова­тельно, сумму чисел 52,65 следует округлить до 53.

Числа, содержащие степени, преобразуют, приводя показатели степеней слагае­мых к наибольшему.

Например, при сложении чисел 4·10^-5, 3,00·10^-2 и 1,5·10^-4 нужно представить их следующим образом: 0,004·10^-2, 3,00·10^-2 и 0,015·10^-2. Пользуясь правилом значимости суммы, получаем 3,02·10^-2, поскольку значимость суммы определяется значимостью числа 3,00·10^-2, имеющего наименьшее число десятичных знаков.

Умножение и деление.

Для оценки значимости произведения (или частного) часто пользуются следующим правилом: значимость произведения (или частного) определяется значимостью сомножителя с наименьшим числом значащих цифр. На­пример, перемножение чисел 1,5 и 2,35 дает произведение, содержащее две значащие цифры, т. е. 3,5.

Более строгий подход основан на сравнении относительных недостоверностей сомножителей и произведения (или частного). Относительная недостоверность равна отношению абсолютной недостоверности числа к самому числу. Относительная не­достоверность произведения (или частного) равна сумме относительных недостовер­ностей сомножителей. Например, нужно найти частное 98:87,25. Относительные недостоверности составляют (приближенно): 1:98 = 1·10^-2 и 0,01:87,25= 1·10^-4.

Сле­довательно, относительная недостоверность частного 0,01+0,0001=1·10^-2. При де­лении чисел с помощью калькулятора получаем число 1,1232... Поскольку недосто­верна вторая цифра после запятой, частное следует округлить до 1,12.

Возведение в степень.

При возведении числа в степень относительная недосто­верность результата увеличивается в число раз, равное степени. Например, при воз­ведении в квадрат она удваивается.

Извлечение квадратного корня.

Относительная недостоверность результата извлечения корня вдвое меньше относительной недостоверности подкоренного чис­ла, поэтому в некоторых случаях после извлечения корня число значащих цифр увеличивается. Например, 1.00=1,000 , так как относительная недостоверность числа 1,00 равна 1•10^-2, а результат извлечения корня 0,005, т.е. неопределенность заклю­чена в третьем знаке после запятой.

Логарифмирование.

При логарифмировании число значащих цифр в мантиссе равно числу цифр, которое содержал нестепенной член числа. Характеристика лога­рифма не входит в число значащих цифр, так как они указывают лишь на порядок логарифмируемого числа. Например, lg0,1•10^-2=-3,0 ; lg0,10•10^-2=-3,00; lg0,1=-1,0.

Абсолютная недостоверность логарифма приблизительно в 2,5 раза меньше относительной недостоверности числа под логарифмом. Например, если логарифм известен с точностью 1·10^-3, относительная погрешность логарифмируе­мой величины не меньше чем 2,5·10^-3. При вычислении антилогарифмов число зна­чащих цифр уменьшается.

Например, antilg0,23=1,7•10¹⁰.

Каждому химику нужно уметь оценить достоверность полученных результатов измерения и проведенных расчетов, что не менее важно, чем получить результат ана­лиза. И хотя это очень сложная задача, оценить достоверность измерений и учесть погрешности можно, пользуясь некоторыми правилами и законами, изложенными, в частности, в этой главе.