4..2. Переходный участок нити в ткани

На ткацких фабриках всегда имеется потребность учёта величины расхода нитей для выработки конкретной структуры ткани. Известно, что уработка нитей в ткань существенным образом определяется формой переходного участка нити. Наиболее простым способом расчета длины переходного участка нити с одной поверхности ткани на другую является аппроксимация его прямой линией, являющейся гипотенузой ‘c’ прямоугольного треугольника a-b-c, катеты a-b которого просто определяются параметрами структуры ткани (плотностью расположения нитей и толщиной ткани). Такой способ расчета, показанный на Фиг. 5,а, предложен в работе A.F.Barker and E.Midgley [1].

ФигГ.5

Однако, последующие исследователи обратили внимание на существенное расхождение расчетных и реальных данных (до 15%).

На первом этапе в работах различных авторов криволинейный участок перехода нити с одной поверхности ткани на другую принимался как дуга окружности относительно круглого поперечного сечения нити [13] - F.T.”Geometry of Cloth Structure”, J.Text. Inst, 1937, 28, T45-96], и [2].

Кузнецов А.М. в работе [14] на основе зарисовки и анализа поперечных сечений ткани полотняного переплетения под микроскопом пришел к выводу о возможности аппроксимации переходного участка нити квадратичной параболой (Фиг.5, b) .

Новиков Н.Г. в работе [3] описал разработку Зворыкиной Е.К. (Фиг.5, с) о строгой математической аппроксимации криволинейных участков EF и MN перехода уточины с одной поверхности ткани на другую дугой эллипса (CEF) относительно центров O и О₁ эллипсовидного поперечного сечения нитей основы I и II.

Оников Э.А. [15] при расчете структуры элемента ткани полотняного переплетения в опушке ткани, как и Зворыкина Е.К., также использовал концентрический эллипс для отображения криволинейного участка перехода нити в ткани.

Керимов С.Г. [16] использовал интерпретацию поперечного сечения нитей в ткани в виде эллипса, однако весь переходный участок (всю длину) аппроксимировал дугами двух окружностей, радиусы которых обеспечивали выполнение условия касания в точке перегиба переходного участка нити дуг и других кривых второго порядка различного вида

В работах [17,18,19] математически доказана возможность аппроксимации переходного участка нити как сочетание прямолинейного участка и двух криволинейных участков BM, отображенных дугами окружности с радиусом R_b кривизны дуги эллипса в вершине малой полуоси b (см. Фиг.5,d).

В нашей работе в связи с использованием реального отображения формы поперечного сечения смятой нити в структуре ткани в виде эллипса с целью упрощения практических расчетов принимаем форму дуги изгиба продольной оси криволинейного переходного участка нити другой системы также в виде дуги эллипса как на Фиг.5, с.

4.2.1. Текущий полярный радиус эллипса

Анализ участков контакта нитей основы и утка при различных фазах строения ткани указывает на существенное изменение величины текущего полярного радиуса R_M наружного эллипсовидного контура поперечного сечения нитей от величины малой полуоси эллипса b до размера большой полуоси a (Фиг. 4). Поэтому возникла необходимость вывода формулы для определения текущего радиуса эллипса в зависимости от величины полуосей a и b , а также полярного угла β наклона радиуса R_M к большой полуоси: R_M = f (a, b, β).

В соответствии с известным методом построения эллипса проведем на Фиг.4 две окружности радиусами а и b . Ось Х совпадает с большой полуосью а, а ось Y - с малой полуосью b . Для произвольной точки М на дуге эллипса проведем перпендикуляр к оси Х и до пересечения с большой окружностью в точке N. Тогда линия ОN = а образует полярный угол t с осью Х. Из точки М проведем перпендикуляр к оси Y до пересечения с малой окружностью радиуса b в точке N₂.

Известны параметрические уравнения эллипса, содержащие полярный угол t [20-Фролов-стр52]:

X_M = a∙Cos t ; Y_M = b ∙Sin t (13)

Известно также параметрическое уравнение касательной к эллипсу (Выгодский М.Я., [21]):

b∙ Cos t∙ X_M + a ∙Sin t ∙Y_M – a∙b = 0 (14)

Однако, нас интересует иное: величина полярного угла β между текущим полярным радиусом R_M эллипса и большой полуосью а.

Из ∆ONN₁ на Фиг.4 запишем равенства:

Cos t = x_M / a ; Sin t = Y_M / b ; X_M = R_M∙ Cos β ; Y_M = R_M∙ Sin β .

Тогда Cos t = (R_M /a) ∙ Cos β ; Sin t = (R_M/ b) ∙ Sin β .

Подставим эти значения в уравнение касательной (14) и после преобразований получим в общем виде формулу величины текущего полярного радиуса любой точки эллипса в зависимости от величины параметров смятой нити в форме эллипса и полярного угла β:

(15)

На Фиг.6 представлен переходный участок нити основы в структуре ткани предельной плотности по утку.

Фиг.6

Применительно к обозначениям параметров эллипсовидной осевой линии изгиба нити основы на Фиг.6 формула (15) приобретает вид

(16)

Калищак Т.