- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
вершині а. Переріз, проведений через дану сторону основи і протилежну вершину другої основи, утворює з основою кут ф. Знайдіть об'єм призми.
б) Основа прямої призми — трикутник, дві сторони якого дорівнюють b, а кут між ними а. Через одну з даних сторін основи і протилежну вершину другої основи проведено переріз, який утворює з основою призми кут ф. Знайдіть об'єм призми.
373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
описаного кола R. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі і радіусом вписаного кола г. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює кут а з площиною основи призми. Знайдіть об'єм призми.
374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
ф (ф < 90°), більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
б) Основою прямої призми ABCA1B1C1 є прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою АВ = с і ﮮА = а. Площина, що проходить через АС і B1 утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
375. а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю l. Через цю діагональ і вершину
верхньої основи призми проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані призми по прямих, що утворюють з площиною основи кут β, а з цією діагоналлю кут а. Знайдіть бічну поверхню призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з меншою діагоналлю d. Через цю діагональ і вершину верхньої основи проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані по прямих, кут між якими дорівнює β і утворює з площиною основи кут а. Знайдіть об'єм призми.
376. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Діагональ
бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут у. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом у при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює l і утворює з площиною основи призми кут β. Визначте об'єм призми.
377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом у. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть об'єм призми.
378. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і β і радіусом описаного кола R.
Діагональ бічної грані, що містить сторону, до якої дані кути прилягають, утворює з площиною основи кут у. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і β. Діагональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут у. Знайдіть об'єм призми.
379. а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом а між діагоналями. Діагональ призми
дорівнює l і утворює з площиною основи кут у. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d, яка утворює із стороною основи кут у. Діагональ призми утворює з площиною основи кут а. Визначте об'єм призми.
380. а) В основі прямої призми лежить ромб. Більша діагональ призми дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом ф, а менша — утворює з бічним ребром кут а. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагоналі якого утворюють між собою кут ф. Діагональ однієї з бічних граней дорівнює b і утворює з площиною основи кут а. Обчисліть об'єм призми.
381. а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю d. Більша діагональ призми утворює
3 площиною основи кут у, а менша — кут а. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю l. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом а. Знайдіть бічну поверхню призми.
382. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з гострим кутом а. Більша діагональ
трапеції дорівнює l і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначте об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом β. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Менша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Визначте об'єм призми.
383. а) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а і гострим кутом а. Переріз призми площиною,
проведеною через більшу діагональ однієї основи і протилежну сторону другої основи, є прямокутним трикутником. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з меншою діагоналлю, що дорівнює а і гострим кутом 2а. Через меншу діагональ нижньої основи і протилежну вершину другої основи проведено переріз призми площиною. Перерізом є рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Визначте об'єм призми.
384. а) Основою призми є трикутник, в якого одна сторона дорівнює 2 см, а дві інші по 3 см, бічне ребро
дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Визначте ребро куба рівновеликого призмі.
б) Основою призми є трикутник, в- якого сторони дорівнюють 3 см, 5 см, 7 см. Бічне ребро довжиною 8 см утворює з площиною основи кут 60°. Обчисліть об'єм призми.
385. а) Бічне ребро похилої трикутної призми дорівнює 6 см, дві бічні грані її взаємно перпендикулярні
і мають площі 24 см2 і 30 см2. Знайдіть об'єм призми.
б) Сторони перпендикулярного перерізу, що перетинає всі ребра похилого паралелепіпеда, дорівнюють 3 см і 4 см і утворюють між собою кут 30°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо його бічне ребро дорівнює 10 см.
386. а) Основа похилої призми — рівнобічна трапеція з гострим кутом 60° і паралельними сторонами
4 см і 8 см, бічна сторона цієї трапеції є ортогональною проекцією одного з бічних ребер призми. Знайдіть об'єм призми, якщо бічне ребро дорівнює 5 см.
б) Основа призми — правильний трикутник зі стороною 4 см, бічне ребро дорівнює 6 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об'єм призми.
387. а) Основою призми є квадрат зі стороною √4 - √3 см. Одна з бічних граней — також квадрат,
а інша — ромб з кутом 60°. Знайдіть повну поверхню призми.
б) Основою похилої призми є правильний трикутник із стороною 3 см. Одна з бічних граней — квадрат, а дві інші — паралелограми. їх спільне бічне ребро утворює із сторонами основи кути по 30°. Знайдіть повну поверхню призми.
388. а) Основою похилого паралелепіпеда є паралелограм АВСD, в якого АВ = 3 дм. АD = 7 дм і
ВD = 6 дм. Діагональний переріз AA1C1C перпендикулярний до площини основи і його площа дорівнює 1 м2. Обчисліть об'єм паралелепіпеда.
б) Дві бічні грані похилої трикутної призми взаємно перпендикулярні, а їх спільне ребро дорівнює 24 см і віддалене від двох інших бічних ребер на 12 см і 35 см. Обчисліть бічну поверхню цієї призми.
389. а) Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а, одна з вершин другої основи
проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
б) Основи паралелепіпеда — квадрати зі стороною b, а всі бічні грані — ромби. Одна з вершин верхньої основи однаково віддалена від всіх вершин нижньої основи. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
390. а) У правильній трикутній призмі проведено площину через бічне ребро перпендикулярно до
протилежної бічної грані. Обчисліть повну поверхню призми, якщо площа перерізу дорівнює 4,2√3 см2. а сторона основи призми — 6 см.
б) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 6 дм і 8 дм. Через гіпотенузу однієї основи і вершину прямого кута другої основи проведено площину. Обчисліть об'єм призми, якщо площа перерізу дорівнює √1201 дм2.
391. а) Основою прямої призми є трикутник, сторони якого 5 см, 5 см, 6 см. Висота призми дорівнює
більшій висоті цього трикутника. Знайдіть об'єм призми.
б) Висота прямої трикутної призми дорівнює 5 м, її об'єм — 24 м3. Площі бічних граней відносяться як 17 : 17 : 16. Знайдіть сторони основи.
392. а) В основі похилої призми лежить паралелограм зі сторонами 6 дм і 12 дм і гострим кутом 60°.
Бічне ребро призми дорівнює 14 дм і утворює з площиною основи кут 30°. Обчисліть об'єм призми.
б) У похилій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 4 см, 13 см, 15 см. Бічне ребро 10√2 см нахилене до площини основи під кутом 45°. Обчисліть об'єм призми.
393. а) Основою похилого паралелепіпеда є ромб, сторона якого дорівнює 60 см. Площина діагонального
перерізу, що проходить через більшу діагональ основи, перпендикулярна до площини основи. Площа цього перерізу дорівнює 72 дм2. Знайдіть меншу діагональ основи, якщо бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 80 см і утворює з площиною основи кут 60°.
б) Основою похилого паралелепіпеда є ромб, менша діагональ якого дорівнює 60 см. Площа діагонального перерізу, що проходить через більшу діагональ і перпендикулярно до площини основи, дорівнює 72 дм2. Знайдіть сторону основи паралелепіпеда, якщо бічне ребро його дорівнює 80 см і нахилене до площини основи під кутом 60°.