- •Затверджено Міністерством освіти України
- •1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
- •А) жодної: б) одна; в) безліч; г) жодної або одна; д) одна або безліч.
- •Перетинаються;
- •16. А) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
- •50. А) Три відрізки a1a2- в1в2, с1с2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці о і цією
- •51. A) abcd — паралелограм, be і fd — перпендикуляри до площини abc. Доведіть, що площини
- •53. А) Відрізок вм перпендикулярний до площини прямокутника abcd. Доведіть, що пряма cd
- •108. А) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
- •109. А) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
- •110. А) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. Належать двом перпендикулярним площинам.
- •111. А) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
- •112. А) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
- •113. А) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
- •115. А) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
- •116. А.) у прямокутній трапеції abcd бічні сторони — 24 см і 25 см. А більша діагональ bd є
- •117. А) Вершина с рівностороннього трикутника abc. Сторона якого 8 см. Віддалена від площини a
- •118. А) Через гіпотенузу ав прямокутного рівнобедреного трикутника abc проведено площину р під
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
- •119. А) Пряма а паралельна до площини а. Через точки а і в прямої а проведено паралельні прямі,
- •121. А) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
- •122. А) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
- •123. А) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
- •124. А) Дві паралельні прямі ав і сd лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
- •125. А) Із точки м — середини бічної сторони ав рівнобедреної трапеції авсd до її площини
- •126. А) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
- •127. А) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
- •132. А) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
- •133. А) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
- •134. А) Точка м знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
- •136. А} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
- •137. А) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
- •138. А) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
- •140. А) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
- •142. А) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
- •152. А) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
- •153. А} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
- •154. А) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
- •155. А) у прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
- •156. А) Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
- •157. А) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
- •173. А) Із точки d, що лежить на гіпотенузі ав прямокутного трикутника авс, проведено відрізок
- •179. А) у круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
- •180. А) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках а1, a2, a3; друга пряма — у
- •183. А) Із центра о квадрата abcd, діагональ якого дорівнює 16√2 см, проведено відрізок of
- •§ 2. Геометричні побудови
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
- •189. А) Побудуйте лінію перетину площин abb1 і b1c1c в кубі abcda1b1c1d1.
- •190. A) Дано прямокутний паралелепіпед. Як розміщена пряма ab відносно грані dcc1d1?
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
- •Розділ II. Координати і вектори в просторі
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
- •274. А) Дано вектори а (4; -2; -4) та b(6; -3; 2). Обчисліть (a-b)2
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
- •294 А) Дано куб авсdа1в1с1d1. Обчисліть кут між векторами вс1 і вк, де к— середина ребра dd1.
- •295 А) Мі n — середини ребер в1в і а1d1 куба авсdа1в1с1d1, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
- •Розділ III. Многогранники §1. Призма
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
- •350. А) у прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
- •372. А) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, що дорівнює а і кутом при
- •373. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
- •374. А) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
- •377. А) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
- •394. А) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
- •395. А) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
- •396. А) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
- •404. А) в основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
- •405. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
- •§ 2. Піраміда 1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
- •2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
- •449. А) у правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
- •451. А) у правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
- •452. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
- •455. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
- •471. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •474. А) в основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •475. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
- •476. А) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
- •478. А) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює s. Одна бічна грань піраміди
- •479. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
- •482. А) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до основи,
- •484. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
- •485. А) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
- •486. А) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
- •487. А) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2√41 см. Основа піраміди — прямокутний
- •489. А) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
- •512. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
- •513. А) в основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
- •515. А) в основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
- •516. А) в основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
- •519. А) в основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
- •520. О) в основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом a. Бічна
- •530. А) в основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
- •531. А) Правильна п'ятикутна піраміда sавсdе перетинається площиною, що проходить через вершини
- •Розділ IV. Тіла обертання
- •1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
- •529. А.) Довжини сторін основ, і висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
- •9 : 6 : 2. Площа бічної поверхні — 3 дм2. Знайдіть, площу повної поверхні.
- •2. Завдання підвищеного рівня ( №№ 551 — 59s )
- •556. А) у нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані т від центра нижньої
- •565. А) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
- •567. А) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54п см2, якщо
- •3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
- •Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
- •620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
- •622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
- •Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
- •643. А) у кулю радіуса r вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
- •647. А) в основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
- •654. А) у циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
- •658. А) у правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
- •667. А) у кулю радіуса r вписано правильну трикутну піраміду з плоским кутом при вершині, що
- •671. А) у рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
- •673. А) у правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
- •676. А) в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
- •680. А) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
- •689. А) Радіус основи конуса дорівнює r, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
- •693. A) у кулю, площа поверхні якої s, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
- •701. А) у прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 м. Знайдіть кут між твірною
- •704. А) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
- •706. А) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
- •§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі з
- •§ 2. Геометричні побудови 23
- •§1. Призма 38
Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
615. а) Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об'ємів октаедра
і куба.
б) Центри граней куба є вершинами правильного октаедра. Знайдіть відношення об'ємів куба і октаедра.
616. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини
призми, утворює з бічним ребром кут у. Визначте площу поверхні сфери, якщо бічне ребро призми дорівнює а.
б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут у. Визначте об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює b.
617. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до
вершини призми, утворює з площиною основи кут у. Визначте бічну поверхню призми.
б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут у. Знайдіть об'єм призми.
618. а) У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму — циліндр. Знайдіть відношення
об'ємів циліндрів.
б) У правильну трикутну призму вписано циліндр, а в циліндр — правильну трикутну призму. Знайдіть відношення об'ємів призм.
619. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Діагональ бічної
грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом а. Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом β. Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
620. А) в основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
кут у. Діагональ бічної грані призми, що містить меншу сторону прямокутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом ос. Діагональ бічної грані дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
621 а) Основою прямої призми є рівнобедрена трапеція з гострим кутом a. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює l і утворює з площиною основи куту. Визначте об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) У пряму призму, основою якої є рівнобедрена трапеція з тупим кутом β, вписано циліндр. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом у. Визначте об'єм циліндра.
622. А) Основа прямої призма — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
діагоналлю прямокутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначте об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основа прямої призми — ромб зі стороною а і кутом β, який утворює ця сторона з більшою діагоналлю ромба. Менша діагональ призми утворює з площиною основи кут a. Визнайте об'єм циліндра, вписаного в цю призму.
623. а) Основа прямої призми — рівнобедрений трикутник з кутом β (гострим) при вершині. Діагональ
грані, що проходить через бічну сторону трикутника, дорівнює а і нахилена до основи під кутом а. Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ грані, що проходить через основу трикутника, дорівнює l і нахилена до основи під кутом β. Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
624. а) У кулю вписано правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а. Визначте
поверхню кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом ф.
б) У кулю вписано правильну трикутну піраміду, висота якої дорівнює h. Визначте об'єм кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом β.
625. а) 3 точки Р поверхні кулі проведено три рівні хорди РА, РВ і РС під кутом 60* одна до одної.
Знайдіть радіус кулі, якщо відстань від точки Р до площини АВС дорівнює d.
б) 3 точки Р поверхні кулі проведено три рівні хорди під кутом 900 одна до одної. Знайдіть їх довжину, якщо радіус кулі дорівнює R.
626. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте площу
бічної поверхні піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює r.
6) У правильній трикутній піраміді бічна грань нахилена до основи гід кутом ф. Визначте площу бічної поверхні піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в піраміду, дорівнює R.
627. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює b і нахилене до основи лід кутом а.
Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює Н а бічне ребро нахилене до основи під кутом β. Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.
628. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Знайдіть
об'єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R.
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q.
629. а) У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині — β
Визначте площу бічної поверхні конуса, вписаного з піраміду.
б) У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині — а. Визначте об'єм конуса, вписаного в піраміду.
630. а) У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює ти, а плоский кут при вершині — В. Визначте
об'єм конуса, вписаного в піраміду.
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
631. а) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а Знайдіть повну поверхню
вписаного конуса, якщо площа основи піраміди — S.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут β. Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R.
632. а) Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом ф. Відстань від вершини конуса до
центра вписаної в нього кулі дорівнює d. Визначте площу бічної поверхні конуса.
б) Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює β. Відстань від центра описаної навколо конуса кулі до основи його висоти дорівнює l. Визначте площу бічної поверхні конуса.
633. а) У кулі радіуса R просвердлено циліндричний отвір, вісь якого проходить через центр кулі, а
діаметр основи циліндра дорівнює радіусу кулі. Обчисліть об'єм частини кулі, що залишилася.
б) Конус вписано в кулю, радіус якої дорівнює R. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо кут при вершині його осьового перерізу дорівнює а.
634. а.) Прямокутний трикутник, катети якого 12 см і 16 см. обертається навколо гіпотенузи Знайдіть
площу поверхні тіла обертання та його об'єм.
б) Рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 1200 і бічною стороною 20 см обертається навколо основи. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання.
635. а) Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см обертається навколо сторони 14 см. Знайдіть
площу поверхні та об'єм тіла обертання.
б) Рівнобедрений трикутник, основа якого 16 см і бічна сторона — 10 см. обертається навколо бічної сторони. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання.
636. а) Рівнобедрений трикутник з бічною стороною, що дорівнює 20 см і основою — 10 см, обертається
навколо осі, яка містить його основу. Знайдіть об'єм тіла обертання.
б) Прямокутний трикутник, катети якого 10 см і 15 см, обертається навколо осі, що містить його гіпотенузу. Знайдіть об'єм тіла обертання.
637. а) Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом 600 обертається навколо осі,
що містить гіпотенузу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
б) Рівнобедрений трикутник з основою а і протилежним до неї кутом 120° обертається навколо осі, що містить основу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.