Ргр № 7 «Расчет вала на прочность и жесткость»

ЗАДАЧА. Стальной вал вращается с угловой скоростью ω (рад/с), передавая на шкивы мощности P_i , как показано на схеме. Необходимо:

1. Определить значения скручивающих моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент, если М_i =0;

2. Выбрать рациональное расположение шкивов на валу, построить эпюры крутящих моментов для каждой схемы по длине вала. Дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами;

3. Определить размеры сплошного вала круглого и кольцевого сечений из расчетов на прочность и жесткость, приняв [τ]=30 МПа; [φ₀]=0,02 рад/м; с=0,9;

4. Сравнить валы круглого и кольцевого сечения в зависимости от массы и габаритов.

Данные своего варианта взять из табл. РГР № 7

а )	б )
Схемы к задаче РГР № 7

Таблица РГР № 7

ω, рад/с		20	25	30	10	15	Р1	Р2
Р3 , кВт		130	100	120	140	150
a, b, c	м	30	20	60	40	10	кВт
№ варианта и задачи		01	02	03	04	05	40		10
		06	07	08	09	10	20		42
		11	12	13	14	15	18		25
		16	17	18	19	20	30		16
		21	22	23	24	25	56		28
		26	27	28	29	30	35		48
		31	32	33	34	35	17		22

Задача ргр № 1

При помощи стержневого устройства АВС (в точках А, В и С соединения шарнирные) удерживаются в равновесии два груза. Определить:

I) реакции стержней, удерживающих грузы. Массой стержней пренебречь;

II) из условия прочности размеры поперечного сечения стержней кронштейна в форме: круга и уголка по ГОСТ 8509-86 г., если [σ]=140 МПа.

Дано: G₁=80 кН; G₂=60 кН. Найти: R_A, R_C; А.

Решение I:

1. Рассматриваем равновесие шарнира В.

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей.

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

∑F_kx=0; ∑F_kx=-F₁cos70⁰+R_Ccos20⁰+R_A=0;

∑F_ky=0; ∑F_ky=-F₁sin70⁰+F₂+R_Csin20⁰=0;

R_C=(F₁sin70⁰-F₂)\sin20⁰=(80·0,9397-60)\0,3420=44 кH;

R_A=F₁cos70⁰-R_Ccos20⁰=80·0,3420-44·0,9397=-14 кH.

4. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически.

Для построения силового многоугольника выбираем масштаб .

Из произвольной точки В строим в следующем порядке:

• ВD=F₁; DC=F₂

• Из точек В и С проводим прямые, параллельные положениям стержней А и С. Эти прямые пересекаются в точке А так, что CA=R_C, AB=R_A;

отсюда R_C=CA· _F=4,4·1=44 кН; R_A=AB· _F=1,4·1=14 кH.

Решение II:

1. Стержень – прямой брус, работающий на растяжение или сжатие.

N_А=R_A=-14 кH - сжатие; N_С=R_C=44 кH – растяжение.

2. Из условия прочности находим площади поперечных сечений стержней:

N_max=N_С=44 кH=44000 Н; N_min=N_A=14 кH=14000 Н;

А_C=N_С\[σ]=44000\140=314,3 мм²=3,14 см²;

А_А=N_А\[σ]=14000\140=100 мм².

3. Определяем диаметр стержня АВ =11,3 мм; d=12 мм;

выбираем для стержня СВ по ГОСТ 8509-86 уголок № 4,5; А=3,48 см².

ОТВЕТ: R_A=-14 кH; R_C=44 кH; d_А=12 мм; стержня С - уголок № 4,5.

Задача РГР № 2

Для двухопорной балки, нагруженной сосредоточенными силами F₁, F₂ и парой сил с моментом М определить:

I) реакции опор балки;

II) размеры поперечного сечения балки в форме круга, приняв [σ]=160 МПа.

ДАНО: F₁ =15 кН; F₂ =4 кН; М=2 кН∙м. Найти: R_A, R_В; А.

РЕШЕНИЕ I:

1. Изобразим балку с действующими на нее нагрузками. Строим расчетную схему балки.

2. Составляем уравнения равновесия и определяем неизвестные реакции опор:

∑M_A(F_k )=0, F₂·AC+R_By·AB+M=0;

R_By=(F₂·3-M)/4; R_By=(-4·3-2)/4=-14/4=-3,5 кН.

∑F_ky=0, R_Ay+F₁+F₂+R_By=0, R_Ay=-F₁-F₂-R_By=-15-4+3,5=-15,5 кН.

3. Проверяем правильность найденных результатов:

∑M_B(F_k )=-R_Ay·AB-F₁·АB+M-F₂·BD=15,5·4-15·4+2-4·1=0.

РЕШЕНИЕ II:

1. Делим балку на участки по характерным точкам: AC, CB, DB.

2. Определяем ординаты и строим эпюру Q_y:

AC, сечение I-I, справа Q_y1=R_Ay+F₁=-15,5+15=-0,5 кН.

CВ, сечение II-II, справа Q_y2=R_Ay+F₁+F₂=-15,5+15+4=-3,5 кН.

DВ, сечение III-III, слева, Q_y3=0 кН.

3. Определяем ординаты и строим эпюру М_х:

AC, сечение I-I, справа, 0z₁3 м, М_х1=R_Ay·z₁+F₁·z₁,

при z₁=0 М_х1=0; при z₁=3 м М_х1=-15,5·3+15·3=-1,5 кН∙м.

CВ, сечение II-II, справа, 0z₂1 м, М_х2=R_Ay·(3+z₂)+F₁·(3+z₂)+F₂·z₂,

при z₂=0 М_х2=-1,5 кН∙м; при z₂=1 м М_х2=-15,5·4+15·4+4·1=2 кН∙м.

DB, сечение III-III, слева, 0z₃1 м, М_х3=М=2 кН.

4. Проверяем правильность построения эпюр на участке AС:

dМ_х1/dz=d(R_Ay·z₁+F₁·z₁)/dz=R_Ay+F₁=Q_y1=-0,5 кН.

5. Исходя из эпюры М_х: М_{х max}=2,0 кН·м=2,0·10⁶ Н·мм.

6. Определяем осевой момент сопротивления сечения:

W_x≥М_{х max}/[σ]≥2000000/160≥12500 мм³.

7. Находим диаметр поперечного сечения балки:

=50мм. Принимаем d=50 мм.

ОТВЕТ: R_B=-3,5 кН; R_A=-15,5 кН; d=50 мм.