Задача ргр № 3

Для заданной плоской однородной пластины АВСDE определить

I) Положение центра тяжести;

II) Главные центральные моменты инерции.

Дано: В=180 мм; b=140 мм; R=10 мм; Н=160 мм; h=100 мм

Найти: С(х_С; у_С); J_xС; J_уС

РЕШЕНИЕ I:

1. Разбиваем сложное сечение пластины на 3 простых сечения:

прямоугольник - АВDK; полукруг - ВС; треугольник - DKE

2. Определяем необходимые данные для простых сечений:

□АВDK: 180160; А₁ =180·160=28800 мм ² =288 см ²; С₁ (9; 8)

круг : А₂=πR²=3,14·10²=314 мм ²=3,14 см ²; С₂ (1,5; 14)

ΔDKE: А₃ =100·40/2=2000 мм²=20 см ²; С₃ (16; 3,3).

3. Определяем положение центра тяжести сложного сечения пластины:

Х_С =∑(А_k·х_k)\∑А_k ; Y_C =∑(А_k·у_k)\∑А_k;

=8,6 см;

=8,3 см;

Х_С=8,6 см; Y_C=8,3 см.

Решение II:

1. Провести оси координат и центральные оси простых сечений.

2. Определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

□АВDK: =6144 см⁴; =7776 см⁴;

круг : J_x2=J_у2=π(2R)⁴/64=3,14·2⁴/64=0,785 см⁴;

ΔDKE: J_x3=КЕ·КD³/36=4·10³/36=111,1 см⁴;

J_у3=КЕ³·КD/48=4³·10/48=13,3 см⁴.

3. Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а₁=|у_С-у₁|=8,3-8=0,3 см; а₂=|у_С-у₂|=|8,3-14|=5,7 см;

а₃=|у_С-у₃|=8,3-3,3=5 см; е₁=|х_С-х₁|=|8,6-9|=0,4 см;

е₂=|х_С-х₂|=8,6-1,5=7,1 см; е₃=|х_С-х₃|=|8,6-16|=7,4 см.

4. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у:

J_уС =∑(J_уi+а_i²·А_i)=(J_у1+а₁²·А₁)-(J_у2+а₂²·А₁)-(J_у3+а₃²·А₃);

J_уС=(7776+0,3²·288)-(0,785+5,7²·3,14)-(13,3+5²·20)=7185,8 см⁴.

5. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х:

J_хС=∑(J_хi+е_i²·А_i)=(6144+0,4²·288)-(0,785+7,1²·3,14)-(111,1+7,4²·20);

J_хС=4824,7 см⁴.

Ответ: Х_С=8,6 см; Y_C=8,3 см; J_уС=7185,8 см⁴; J_хС=4824,7 см⁴.

Задача РГР № 4

Автомобиль движется по круглому арочному мосту радиуса r=50 м согласно уравнению S=0,2t³-t²+0,6t (S – [м], t – [с]).

Построить графики перемещения, скорости и касательного ускорения для первых пяти секунд движения. На основании анализа построенных графиков указать: участки ускоренного и замедленного движения. Определить полное ускорение автомобиля в момент времени 2 секунды.

Дано: Закон движения автомобиля S=0,2t³-t²+0,6t; t=5 мин.

Найти: v₀, а_t0; t при v=0, а_t=0; а при t=2 с.

Решение:

1. Находим уравнения скорости:

v=dS\dt=(0,2t³-t²+0,6t)^'=0,6t²-2t+0,6

а) при t=0 мин v₀=0,6 м\с;

б) при v=0 0,6t²-2t+0,6=0 отсюда

t₁=3 с; t₂=0,3 с.

2. Находим уравнение ускорения

а_t=dv\dt=(0,6t²-2t+0,6)^'=1,2t-2

а) при t=0 мин а_t= -2 м\с²;

б) при а_t=0 1,2t-2=0 отсюда t=1,7 с.

3. Для построения графиков составляем сводную таблицу численных значений параметров движения автомобиля

Таблица

Значения t; с	0	1	2	3	4	5
S=0,2t3-t2+0,6t; м	0	-0,2	-1,2	-1,8	-0,8	3
v=0,6t2-2t+0,6; м\с	0,6	-0,8	-1	0	2,2	5,6
аt=1,2t-2; м\с2	-2	-0,8	0,4	1,6	2,8	4

4. Определяем полное ускорение автомобиля в момент времени 2 секунды

; а_t2=0,4 м\с²; а_n2=(v₂)²\R=(-1)²\50=0,02 м\с²

отсюда м\с².

ОТВЕТ: v₀=0,6 м\с; v=0, t₁=3 с, t₂=0,3 с; а_t=0, t=1,7 с; а₂=0,4 м/с²

Рис. РГР № 4 «Определение параметров движения точки»

Задача РГР № 6

Защемленный в стене двухступенчатый брус нагружен осевыми силами. Массой бруса пренебречь.

I) Определить нормальные силы и напряжения в поперечных сечениях по всей длине бруса;

II) Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса;

III) Определить перемещение свободного конца бруса, если Е = 2·10⁵ МПа.

ДАНО: F₁ = 30 кН; F₂ = 38 кН; F₃ = 42 кН; А₁ = 1,9 см²; А₂ = 3,1 см²;

a = 0,2 м; b = 0,1 м; с = 0,5 м.

НАЙТИ: N_i ; σ_i ; ∆l.

РЕШЕНИЕ:

1. Разбиваем брус на участки: АВ; BC; СD.

2. Определяем значения нормальной силы N на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I, N₁ = F₁ = 30 кН;

Участок ВС, сечение II-II, N₂ = F₁+ F₂ = 30+38= 68 кН;

Участок СD, сечение III-III, N₃ = F₁+ F₂ -F₃ = 30+38-42= 26 кН.

Строим эпюру нормальных сил.

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I, σ₁=N₁/А₁= =158 Н/мм²; σ₁=158 МПа;

Участок ВС, сечение II-II, σ₂=N₂/А₁= =219,4 Н/мм²; σ₂=219,4 МПа;

Участок CD, сечение III-III, σ₃=N₃/А₁= =84 Н/мм²; σ₃=84 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений.

4. Определяем продольную деформацию бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

∆l₁ = N₁·l₁/А₁·E = 30·10³·0,5·10³/1,9·10²· 2·10⁵ = 4·10^-1 мм ; ∆l₁ = 0,4 мм;

Участок ВС, сечение II-II,

∆l₂ = N₂·l₂/А₂·E = 68·10³·0,1·10³/3,1·10²· 2·10⁵ =1·10^-1 мм; ∆l₂ = 0,1мм;

Участок CD, сечение III-III,

∆l₃ = N₃·l₃/А₂·E = 26·10³·0,2·10³/3,1·10²· 2·10⁵ = 0,8·10 ^-1 мм; ∆l₃ = 0,08мм;

∆l =∆l₁+∆l₂ + ∆l₃ = 0,4+0,1+0,08 = 0,58 мм.

Ответ: ∆l =0,58 мм. Стержень растянут.

ЗАДАЧА РГР № 5

С корость груза, поднимаемого лебедкой, изменяется согласно графику. Определить величину натяжения каната, на котором подвешен груз, если масса груза m. По максимальной величине натяжения каната определить мощность электродвигателя лебедки при коэффициенте полезного действия механизма лебедки η.

Д АНО: m=2800 кг, η=0,7. НАЙТИ: R_max, P_дв.

РЕШЕНИЕ:

А). Определяем максимальной величине натяжения каната: