Теорема остроградського-гауса Теоретичні відомості

Потік ліній напруженості неоднорідного електричного поля через поверхню S довільної форми визначається формулою:

.

– нормальна складова вектора напруженості електричного поля.

. (1)

Формула (1) є теоремою Остроградського-Гауса в інтегральній формі для точкового заряду q, який знаходиться в просторі, обмеженому замкненою поверхнею S.

. (2)

Вираз (2) – теорема Остроградського-Гауса для системи точкових зарядів.

. (3)

Формула (3) – найбільш загальний вираз теореми Остроградського-Гауса в інтегральній формі для неперервного розподілу заряду густиною , який розміщений в об’ємі V.

Згідно з наведеними міркуваннями, можна зробити висновок, що потік ліній напруженості електричного поля через будь-яку замкнену поверхню визначається повним зарядом, який перебуває в об’ємі, обмеженому даною поверхнею.

Приклади розв’язування задач

Використовуючи теорему Остроградського-Гауса в інтегральній формі, розрахувати електричне поле нескінченно великої плоскої рівномірно зарядженої поверхні, розміщеної у вакуумі. Визначити напруженість електричного поля, якщо поверхнева густина заряду на площині 0,4 мкКл/м².

Дано:	Розв’язування:
Визначимо напруженість електричного поля на основі циліндра, який виберемо як поверхню інтегрування. Площа ΔS, яку обмежує поверхня циліндра, буде мати заряд q=σΔS. З обраних умов інтегрування видно, що потік ліній напруженості електричного поля буде відмінний від нуля лише через основи циліндра і, згідно з означенням потоку, він буде рівний . Запишемо теорему Остроградського-Гауса , (4) в нашому випадку . (5) Підставимо (4) в (5), отримаємо або . З геометричних міркувань та симетрії системи бачимо, що лінії напруженості електричного поля перпендикулярні до зарядженої площини. Напруженість визначатиметься формулою, в якій немає залежності від координати, тобто напруженість буде однакова на різних відстанях від площини.
Обчислення: Відповідь:

Задачі

1. Електричне поле створюється нескінченною площиною з поверхневою густиною заряду 1 мкКл/м² Визначити потік електричного поля площини через коло радіуса 10 см, яке розміщене паралельно до цієї площини.

2. У центрі сфери радіусом 20 см знаходиться точковий заряд 10 нКл. Визначити потік вектора напруженості електричного поля через частину поверхні площею 20 см².

3. Визначити напруженість та індукцію електричного поля, створеного двома паралельними площинами, які розміщені у вакуумі та заряджені з поверхневими густинами зарядів 6 мкКл/м² та - 6 мкКл/м².

4. Розв’язати попередню задачу, вважаючи, що другий заряд додатній.

5. Використовуючи теорему Остроградського-Гауса, розрахувати напруженість та індукцію електричного поля, що створюється рівномірно зарядженою сферичною поверхнею. Побудувати графіки залежності напруженості електричного поля від координати E=E(r).

6. Використовуючи результати попередньої задачі, визначити напруженість електричного поля сфери на відстані 1м від її центра. По поверхні сфери рівномірно розподілений заряд 5 мКл. Радіус сфери 50 см.

7. Розрахувати напруженість та індукцію електричного поля кулі радіуса а всередині та зовні кулі. Об’ємна густина заряду кулі – ρ. Побудувати графіки залежності напруженості електричного поля від координати E=E(r).

8. Використовуючи результати попередньої задачі, визначити напруженість електричного поля кулі на відстані 25 см та 1м від її центра. Об’ємна густина заряду 5 мКл/м³. Радіус сфери 50 см.

9. Розрахувати напруженість та індукцію електричного поля циліндричної поверхні радіуса а. Лінійна густин заряду циліндра – η.

10. Використовуючи результати попередньої задачі, визначити напруженість електричного поля циліндричної поверхні на відстані 10 см від осі циліндра. Довжина циліндра 20 см, по поверхні рівномірно розподілений заряд 15 мкКл, радіус циліндра 5 см.

11. Точковий заряд 20 нКл розміщується в центрі непровідної сферичної поверхні радіуса 15 см, на якій рівномірно розподілений заряд -20 нКл. Визначити напруженість електричного поля в точках, які віддалені від центра сфери 20 см і 10 см.

12. На деякій відстані від нескінченно рівномірно зарядженої площини σ=1,2 нКл/м² розташована кругла пластина, площина пластини створює з лініями напруженості кут 45°. Визначити потік вектора напруженості через пластину, якщо її радіус 10 см.

13. Побудувати на одному графіку криві залежності напруженості Е електричного поля від відстані в інтервалі 1<r<5 см через кожні 1см, якщо поле утворене: а) точковим зарядом 33,3 нКл; б) нескінченно довгою зарядженою ниткою лінійною густиною заряду 1,67 мкКл/м.

14. Знайти силу, яка діє на заряд 2 нКл, якщо цей заряд розміщений: а)на відстані 2 см від зарядженої нитки з лінійною густиною заряду 0,2 мкКл/м; б) у поле зарядженої поверхні поверхневою густиною заряду 20 мкКл/м²; в) на відстані 2см від поверхні зарядженої кулі з радіусом 2 см і поверхневою густиною заряду 20 мкКл/м².