2. Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчёту поля. Магнитное поле прямолинейного проводника с током, кругового тока

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент которого создаёт в некоторой точке A индукцию поля , записывается в виде:

, где

r – радиус-вектор, проведённый из элемента dl проводника в точку A поля

Модуль вектора определяется:

, где

– угол между векторами и

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции:

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими точками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Магнитное поле прямого тока – тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током

3. Магнитный поток. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная

Направление совпадает с направлением нормали к площадке.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S равен

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору :

1 Вб – магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл (1 Вб = 1 Тл · м²).

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Рассчитаем поток вектора через соленоид:

Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида:

Магнитный поток через один виток соленоида площадью S:

Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида:

– потокосцепление.

4. Циркуляция вектора магнитной индукции. Вихревой характер магнитного поля. Поле соленоида

Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру называется интеграл

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, где

n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Например:

П родемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного от нас:

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше.

Вихревой характер магнитного поля

Сравнивая выражения для циркуляции векторов и , видим что между ними существуют принципиальное различие. Циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

Поле соленоида

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида.

Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый прямоугольный контур 12341 (участок 34 – находится в бесконечности).

Поле внутри соленоида однородно.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру 12341, охватывающему все N витков, равна:

Поле тороида

Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

Линии магнитной индукции есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции:

– магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

Поле вне тороида отсутствует.