2, Методы решения задач оптимальным уравнением

Все методы оптимизации операций можно разделить на методы поиска оптимальных значений входных переменных и методы поиска закон изменения управляющих воздействий. Оптимальное значение входных переменных находят методом линейного программирования, нелинейного программирования, геометрического программирования, целочисленного программирования, стохастического программирования, крутого восхождения и т.д.

Оптимальное уравнение вычисляют, на основе принципа максимума Понтрягина, методом динамического программирования, методом покоординатного спуска.

3, Метод динамического программирования

Метод динамического программирования применяют для поиска оптимального

управления дискретными системами. В ряде случаев непрерывная система сводится к дискретной , что также позволяет использовать метод динамического программирования.

Рассмотрим объект, у которого начальное состояние задано и который в пространстве состояний определяется точкой с фазовыми координатами . Дальнейшее поведение объекта, если выбрано управление, однозначно определяется уравнением (39), причем для каждого из этапов существует допустимая область управления (40), т.е. U(t) принадлежит множеству, определяемому фазовой координатой Z в момент времени (t-1). Критерий эффективности определяется суммой критериев каждого этапа, уравнение (41).

Сущность динамического программирования предложенного Р. Беллманом заключается в том, что оптимальная стратегия обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и первоначальное решение последующее решение должно определять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного в результате первоначального решения. Эта прозрачная идея реализуется, следуя Беллману, следующим образом [6]. Предположим, что в момент времени t=j мы уже находимся в точке фазового пространства Z=Z(j). не задаваясь вопросом, как мы попали в эту точку из начального состояния. Будем всеми возможными способами осуществлять завершающую часть процесса:

U(j+1), …, U(N); Z(j+1), …, Z(N) (45)

так, чтобы выполнялись соотношения (39), (40). Для каждой такой завершающей части процесса вычислим сумму (41) и наибольшую из всех этих сумм обозначим через ω_j(Z)=ω_j(Z(j)).

Таким образом, отправляясь из точки Z=Z(j), мы можем выбрать завершающую часть процесса так, чтобы сумма (41) приняла максимальное значение. Полагая j=0, 1, …, N, мы получим N+1 функций ω₀(Z), ω₁(Z), …,ω_N (Z). Ясно, что ω_N (Z)=0, поскольку в сумме (41) при j=N нет слагаемых. Также понятно, что

ω_N-1 (Z)= (46)

максимальное значение критерия эффективности на заключительном этапе процесса. При j=N-2 уравнение (46) будет иметь вид

ω_N-2 (Z)= (47)

Для текущего значения j уравнение (47) запишется

, j=1, 2, …, N. (48)

Уравнение (48) принято называть рекуррентным соотношением или уравнением Беллмана. Аналитическое решение задачи поиска оптимального управления может быть получено только для ряда наиболее простых систем. Более часто используются численные методы. При их применении рекомендуется следующая последовательность:

1. Составляется рекуррентное соотношение

2. Для каждого допустимого сочетания входных переменных отыскивается оптимальный вариант процесса на заключительном этапе. Этот результат запоминается. После этого переходят к предшествующему этапу.

3. Для каждого набора входных переменных отыскивается оптимальный вариант как результат последних двух этапов На третьем, четвертом и т. д. этапах процедура повторяется.