1, Постановка задачи оптимального управления технической системой
Системный подход позволяет строго сформулировать задачи оптимального управления технической системой. Ставится задача найти такие значения входных переменных X и такие законы изменения управляющих воздействий U(t), которые бы обеспечивали наилучшие значения выходных переменных Y(t).
Для постановки задачи оптимального управления выделим из системы параметры состояния объекта, для механической обработки, например, параметры состояния обрабатываемой детали. Объект имеет начальное Z(0) и конечное Z(t) состояния. Для поверхности детали это могут быть допуск на размер J и шероховатость поверхности Rа, рис.6.
Рис.6. Изменение параметров состояния поверхности при обработке.
Начальное и конечное состояние, как правило, не могут произвольно меняться. Для обрабатываемой детали начальное состояние определяется параметрами заготовки, конечное – чертежом детали. Текущее состояние объекта, как правило, отличается от начального и конечного. Изменение параметров может быть дискретным и непрерывным. При движении автомобиля его координаты в пространстве меняются непрерывно. При обработке деталей, например при обработке отверстия, параметры поверхности (диаметр отверстия) меняются по отношению к технологическому процессу дискретно на каждой технологической операции, рис. 6.
Рис. 6. Изменение диаметра отверстия при выполнении трех последовательных операций.
После первого этапа состояние объекта будет определяться совокупностью параметров Z(1), после второй – Z(2), после третьей – Z(3) и т. д. Число этапов процесса преобразования N может быть заранее оговорено, а может подлежать определению при оптимизации структуры. Так при проектировании технологического процесса предусмотрен этап структурной оптимизации, при выполнении которого ставится задача определения числа и вида технологических операций обработки заготовки. Из анализа рис. 6 следует, что состояния объекта после выполнения j-го этапа определяется его состоянием после окончания j-1-го этапа и управления, выбранного на j-м этапе (принятого метода обработки, вида и геометрии режущего инструмента, режима резания), что можно представить в виде системы уравнений
,
(39 )
где переменная t (иногда время) может принимать лишь дискретное множество значений t=0, 1, 2, …., N, а N – фиксированное натуральное число.
Зависимость (39) записана для наиболее простых систем, которые не имеют последействия. В общем случае состояние объекта после выполнения j-го этапа может зависеть не только от его состояния после j-1-го этапа, но и от его состояния после j-2, j-3 – го и так далее этапов (системы с последействием), кроме того в уравнениях (39) не учтен вектор возмущающего воздействия Ω(t).
На каждом из выполняемых этапов, как следует из уравнения (39), выбирается собственное управление, причем допустимая область управления не остается постоянной, она зависит от состояния объекта полученного после выполнения предшествующего этапа. Так, при чистовом растачивании внутренней поверхности, которое выполняется после черновой обработки, мы не можем использовать инструмент, режимы резания принятые при черновом обтачивании, при шлифовании поверхности, которое следует за чистовым растачиванием, кардинально меняются и станок и инструмент и режимы обработки. Таким образом, при выполнении каждого этапа U(t) должно выбираться из допустимой области управления, которая зависит от состояния объекта, полученного после предшествующего этапа.
;
(40)
Для решения задачи оптимального управления водится несколько понятий. Пространство, в котором изменяется состояние объектов, называется фазовым. Оно может быть многомерным. Координаты произвольной точки фазового пространства называются фазовыми координатами. Траектория, по которой происходит изменение параметров состояния объекта, называется фазовой траекторией. Перевод объекта из начального в конечное состояние может осуществляться по нескольким траекториям, кривые 1, 2 и 3 рис. 5. Движение по каждой из траекторий обеспечивает одинаковый конечный результат – переводит объект в конечное состояние, но по затратным параметрам они не аналогичны. При механической обработке траектории могут отличаться трудоемкостью и себестоимостью изготовления детали. Следовательно, для выбора оптимальной траектории из числа возможных необходимо иметь критерий, который называют критерием эффективности. В машиностроении за такой критерий обычно принимают приведенные затраты, трудоемкость операции, прибыль от производства изделия. В зависимости от поставленных задач критерий может быть различным. Рассматриваются и многокритериальные задачи. Для дискретных систем критерий эффективности определяют суммой его значений на каждом их выполняемых этапов
.
(41 )
где
- значение критерия эффективности
первого этапа, определяемого по состоянию
объекта предшествующего этапа и принятого
управления.
В рамках приведенных зависимостей задача оптимального управления формулируется следующим образом: зная начальное Z(0) и конечное Z(N) состояния объекта (39 ) найти такое допустимое управление (40 ), которое придает функционалу (41 ) максимальное (минимальное) значение.
Для непрерывных процессов зависимости (39), (40), (41) будут иметь вид
;
(42)
;
(43)
.
(44)
Задача оптимального управления непрерывной технической системой формулируется аналогично ранее приведенной.