5, Метод линейного программирования, оптимизация

ВХОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Сущность метода линейного программирования заключается в том, что на основании известных закономерностей процесса с учетом технических ограничений составляется математическая модель процесса в виде системы неравенств. При обработке материалов резанием, например, учитываются ограничения обусловленные возможностями станка, режущего инструмента, требованиями обеспечения заданного качества детали. Кроме ограничений, принимается определенный критерий оптимизации, выражаемый в виде функции от переменных параметров. Система равенств и неравенств сводится к системе независимых линейных неравенств

. (49)

Функция оптимизации (целевая функция критерий эффективности) сводится также к линейному виду

. (50)

Нахождение максимального или минимального значения функции (50) среди возможных решений системы (49) является общей задачей линейного программирования. Обычно задачи линейного программирования решаются на ЭВМ. Наибольшее применение нашли симплексный метод и метод обратных матиц. При 2-х и 3-х переменных задача может быть решена графо-аналитически. Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи линейного программирования.

Допустим, что на станке обрабатывается два вида деталей. Обозначим число деталей первого наименования за x₁, число деталей второго наименования за x₂. В течении смены на станке можно обработать не более 10 деталей первого наименования и не более 10 деталей второго наименования и не более 14 деталей, если обрабатывать в течении смены и те и другие. Прибыль, получаемая от производства деталей, определяется из соотношения . Представим ограничения на производство деталей в виде системы неравенств:

. (51)

Функция оптимизации в соответствии с поставленной задачей имеет вид

. (52)

В системе координат x_1, x₂ каждая прямая соответствующая неравенству разделяет плоскость на две полуплоскости: полуплоскость допустимых и недопустимых значений переменных, рис. 8. Так для прямой x₁ слева расположена область допустимых, справа - недопустимых значений переменной x₁. Точки, лежащие на прямой, включаются в область допустимых значений. Совокупность прямых образуют многогранник возможных решений, многогранник АБВСД.

Рис. 8. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

Для определения оптимальных значений переменных придадим критерию оптимизации некоторое значение, например f⁰=16. Подставим это значение в уравнение (52)

и

построим прямую, соответствующую полученному уравнению, на рис. 8. Будем увеличивать значение критерия эффективности, прямая, соответствующая функции (52) будет перемещаться параллельно самой себе и последний раз коснется многоугольника возможных решений в точке Д. Эта точка и будет определять оптимальное решение: x₁=10: x₂=4.

СИНТЕЗ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Постановка задачи синтеза технической системы.

2. Методы синтеза технических систем.

3. Морфологический анализ при синтезе технических систем.