5. Моделирование съема материала при механической обработке

Для анализа процессов обработки заготовок необходимо иметь статистический критерий, с помощью которого можно было бы проследить закономерности отображения поверхностей резания в материале заготовки. Для выбора такого критерия рассмотрим в переходной (граничной) области материал-среда, рис. 4, произвольную точку М. Состояние в точке характеризуется двумя событиями: материал в точке может быть либо удален, либо не удален. Каждое событие имеет свою вероятность. Сумма вероятностей событий как событий противоположных равна единице, а значения вероятностей в общем случае могут зависеть от положения точки в граничной области. Назовем вероятность первого события вероятностью удаления материала, второго – вероятностью неудаления материала, введя соответствующие обозначения: и .

Если профиль обработанной поверхности стационарен и относительно начала координат по оси X жестко не закреплен, то вероятность неудаления материала на уровне y, рисунок.4, определяется по пределу отношений суммы длин отрезков b_i, заполненных материалом, к длине сечения , стремящейся к бесконечности,

. (20)

Поскольку сумма выступов, заполненных материалом при стремится к , уравнение (11) может быть записано в виде

, (21)

где λ – математическое ожидание числа выступов на единицу длины сечения;

- математическое ожидание ширины выступа шероховатости поверхности на заданном уровне.

Рассмотрим связь вероятности удаления материала с параметрами поверхностей резания, образующихся при относительном перемещении режущих кромок инструмента и заготовки. Для установления особенностей формирования поверхностей абразивными инструментами проанализируем также такие распространенные методы обработки как точение и фрезерования торцовыми фрезами.

Для расчета вероятности неудаления материала по зависимости (21) необходимо определить λ и M[b]. Математическое ожидание числа выступов шероховатости с учетом выступов с размерами b=0 равно математическому ожиданию числа впадин и определяется конструкцией инструмента и кинематикой процесса.

Рисунок 4 – Схема к расчету вероятности удаления материала

Для точения

, (22)

где s_о – продольная подача резца на один оборот заготовки;

Для торцового фрезерования

, (23)

где s_z – подача на один зуб фрезы.

Для шлифования λ равно среднему числу зерен, проходящих через единицу сечения.

Ширину единичного выступа вычисляем, когда формообразующие элементы имеют одинаковую геометрию и внедряются на одинаковую глубину

, (24)

где s – расстояние между двумя соседними впадинами поверхностей резания.

Поскольку сумма расстояний и равна ширине сечения поверхности резания на рассматриваемом уровне, уравнение (24) может быть записано :

(25)

Для токарной обработки все переменные, входящие в уравнение (25) можно считать детерминированными величинами и поэтому в пределах слоя шероховатости поверхности

, (26)

где w – расстояние до уровня от впадины поверхности резания;

φ и φ₁ – соответственно главный и вспомогательный углы в плане.

Для процесса торцового фрезерования расстояние между двумя соседними поверхностями резания является величиной случайной в связи с наличием биения зубьев фрезы. По данным выполненных исследований расстояние от центра вращения фрезы до вершин режущих элементов распределено по нормальному закону с параметрами среднего радиуса r_ф и среднеквадратическим отклонением σ. Из теории вероятностей известно, что если случайная величина Y является функцией случайной величины X, то математическое ожидание Y вычисляется по зависимости

, (27)

где - плотность вероятностей распределения случайной величины X.

Для фрезерования зависимость (27) для расчета математического ожидания размера выступа шероховатости принимает вид

, (28)

где - среднее расстояние между поверхностями резания.

В работе [3] теоретически и экспериментально доказано, что для процессов шлифования расстояние между поверхностями резания распределено по показательному закону

. (29)

При этом зависимость (27) принимает вид

. (30)

Соответственно зависимости для расчета вероятностей неудаления материала для процессов фрезерования и шлифования запишутся

, (31)

. (32)

В таблице 6 приводится сопоставление расчетных значений вероятности неудаления материала для трех вариантов: 1) расстояния между поверхностями резания постоянно (точение); 2) расстояния распределены по закону Гаусса (фрезерование); 3) расстояния распределены по показательному закону (шлифование).

При расчетах принято, что угол при вершинах формообразующих элементов равен 96 градусов, число поверхностей резания на мм длины сечения λ=10.

Таблица 6 – Влияние закона распределения между поверхностями резания на вероятность неудаления материала

Уровень w, мм	Варианты закона распределения
	1	2	3
0,01	0,80	0,80	0,82
0,02	0,60	0,60	0,67
0,03	0,40	0,42	0,55
0,04	0,20	0,25	0,45
0,05	0,00	0,12	0,38
0,06	0,00	0,04	0,30
0,07	0,00	0,02	0,25
0,08	0,00	0,01	0,20
0,09	0,00	0,00	0,17
0,10	0,00	0,00	0,12
0,11	0,00	0,00	0,10
0,12	0,00	0,00	0,09

Из анализа приведенных данных следует, что закон распределения расстояний между поверхностями резания существенно влияет на вероятность неудаления материала на всех уровнях. Наибольшее значение соответствует показательному закону, наименьшее – при постоянстве расстояний s. С изменением закона изменяется и величина слоя шероховатости поверхности. Для токарной обработки она равна 0,05 мм ( =0), для фрезерования – 0,1 мм, для шлифования – 0,16 мм. Снижение шероховатости поверхности при шлифовании достигается за счет значительного увеличения числа поверхностей резания.

Зависимости (31), (32) получены из условия, что все поверхности резания расположены на одном уровне и имеют одинаковую геометрию. На практике этого достичь невозможно. Процесс обработки резанием сопровождается вибрациями, возникающими в технологической системе, для процесса фрезерования характерно не только осевое, но торцевое биение зубьев фрезы, для процесса шлифования абразивные зерна инструмента имеют различную геометрию и располагаются на различных уровнях, каждая вершина имеет свою глубину резания.

При расположении поверхностей резания на различных уровнях их ширина при расчете математического ожидания должна приниматься случайной. Зависимость для расчета при этом принимает вид

, (33)

где - плотность вероятностей распределения размеров поверхностей резания на рассматриваемом уровне.

Поскольку случайные величины s и независимы, внутренний интеграл разбивается на разность двух интегралов, первый из которых равен s, второй – математическому ожиданию . Уравнение (33) принимает вид

, (34)

где - математическое ожидание размера поверхности резания.

Вероятность неудаления материала для процесса шлифования соответственно определится

. (35)

Зависимость для расчета вероятности съема материала вида (35) (32) были впервые предложены в работе [9]. Аналогичные зависимости с использованием других аналитических методов были получены также в работах А. В. Королева и О. Б. Федосеева [10,11]. Так, для расчета отношения суммы сечений выступов шероховатости на заданном уровне к длине участка А. В. Королевым предложена зависимость

. (36)

По определению при левая часть уравнения может быть заменена на вероятность неудаления материала, а . На основании этого при длине участка зависимость (36) идентична зависимости (32), которая получена при использовании вероятностного подхода.

Таким образом, для вычисления вероятностей неудаления материала на любом уровне достаточно рассчитать математическое ожидание числа зерен, проходящих через сечение и математическое ожидание ширины профиля поверхности резания (профиля абразивного зерна).

На рисунке 5 приводятся сопоставления расчетных и экспериментальных значений вероятностей удаления материала для трех вариантов: а) при моделировании вершины зерна конусом с расположением вершин на одном уровне (кривая 1); б) при моделировании вершины параболоидом вращения и их расположением на одном уровне (кривая 2); в) при моделировании параболоидом и расположением вершин на трех уровнях (кривая 3). Для первых двух вариантов принято, что λ=50, для третьего – λ=100.

Рисунок 5 – Изменение вероятности удаления материала по глубине слоя шероховатости при моделировании вершин зерен: 1-конусом, =50; 2- параболоидом вращения, =50; 3- параболоидом с расположением верши зерен на трех уровнях, =100

Экспериментальные данные были получены наложением профилей вершин зерен на исследуемый участок. Положение каждой вершины вдоль числовой оси выбиралось с соблюдением показательного закона распределения. Сопоставление показывает, что расчетные и экспериментальные вероятности удаления материала полностью соответствуют друг другу. Точки, определяющие экспериментальные значения, совместились с теоретическими кривыми для всех рассмотренных вариантов. Предложенные зависимости являются функциональными. Они справедливы для любой формы абразивного зерна и применимы для случая, когда абразивные зерна расположены на поверхности круга на различных расстояниях от центра его вращения. Полученные зависимости выявляют особенности абразивной обработки, как процесса стохастического. Они позволяют провести анализ влияния на вероятность удаления материала не только формы абразивного зерна, но и их распределения по глубине инструмента.

С изменением формы изменяются геометрические параметры поверхностей резания. При моделировании абразивного зерна в виде параболоида вращения с увеличением расстояния от максимальной впадины микрорельефа наблюдается более значительное увеличение вероятности удаления, чем при моделировании вершины конусом. Это объясняется большими значениями ширины профилей абразивных зерен в виде параболоида. Более значительное увеличение вероятности, согласно выполненным расчетам, наблюдается при снижении разновысотности залегания зерен в инструменте. Это подтверждается практическими результатами использования процессов шлифования с тонкой правкой круга, когда за счет снижения разновысотности удается значительно уменьшить шероховатость шлифованной поверхности.

Уравнение (32) справедливо для различных процессов формообразования. Вероятности удаления и неудаления материала на заданном уровне могут быть рассчитаны, если известны число, размеры поверхностей резания, распределение расстояний между ними и распределение по глубине переходной области материал – среда. При сложном процессе формообразования расчет вероятностей основан на изучении каждого из процессов с последующим их совмещением. Например, для двух независимых процессов вероятность неудаления материала вычисляется по теореме умножения вероятностей

(37)

где и - вероятности неудаления материала соответственно для первого и второго процессов.

Для двух зависимых процессов вычисляется вероятность удаления материала по теореме сложения вероятностей.

. (38)

Тема № 4

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКОЙ. СИСТЕМОЙ

1. Постановка задачи оптимального управления технической системой.

2. Методы решения задач оптимального управления.

3. Метод динамического программирования.

4. Выбор маршрута обработки детали методом динамического программирования.

5. Метод линейного программирования, оптимизация входных переменных методом линейного программирования.