Оцінка генеральної дисперсії

Теорема 2.5 Вибіркова дисперсія повторної та безповторної вибірок є зміщена і спроможна оцінка генеральної дисперсії .

Доведення. Приймаючи без доведення спроможність оцінки , доведемо, що вона – зміщена оцінка. Згідно із формулою _, на основі властивостей середнього арифметичного і дисперсії:

Приймаючи , отримаємо

а) Вибірка повторна

Для повторної вибірки вибіркові значення розглядаємо як незалежні випадкові величини кожна з яких має один і той самий закон розподілу з числовими характеристиками (2.9) і (2.10), тобто

Знайдемо математичне сподівання оцінки :

.

Перший член в правій частині

.

Другий член з урахуванням того, що є незміщена оцінка , тобто , і (2.11),

Тому

б) Вибірка безповторна

Для безповторної вибірки - залежні випадкові величини. Можна показати, що , (оскільки об’єм генеральної сукупності N, як правило, великий і ). Отже, і для повторної вибірки, і для безповторної , тобто - зміщена оцінка .Оскільки і то вибіркова дисперсія (в середньому, отримана із різних вибірок) занижує генеральну дисперсію. Тому, заміняючи на , ми припускаємо систематичну похибку в меншу сторону. Для того, щоб ліквідувати її, достатньо ввести поправку, помноживши на . Тоді отримаємо «виправлену» вибіркову дисперсію

тобто є незміщеною і спроможною оцінкою генеральної дисперсії .

Контрольні питання.

1. В чому полягають переваги вибіркового метода?

2. Основна задача вибіркового метода.

3. Що таке оцінка параметра?

4. Основні властивості оцінок.

5. Ефективність і спроможність оцінок.

6. Найпоширеніший метод побудови оцінок, його переваги.

РОЗДІЛ 3

МАТЕМАТИЧНА ТЕОРІЯ ВИБІРКОВОГО МЕТОДУ.

Визначення ефективних оцінок за допомогою

нерівності Рао-Крамера-Фреше.

Поняття інтервального оцінювання

Нехай - густина ймовірностей ознаки X (випадкової величини X – генеральної сукупності), якщо X неперервна, і функція ймовірностей , якщо X дискретна. Для широкого класу генеральних сукупностей має місце нерівність Рао-Крамера-Фреше (нерівність інформації):

,

де - дисперсія оцінки параметра θ; - кількість інформації

Фішера про параметр θ, що міститься в одиничному спостереженні і визначається в дискретному випадку формулою:

, (3.1)

а в неперервному випадку – формулою:

. (3.2)

Нерівність інформації дає змогу знайти той мінімум , що має мати дисперсія оцінки , щоб бути ефективною оцінкою , тобто .

◄Приклад 3.1 Знайти ефективну оцінку генеральної частки p повторної вибірки.

Розв’язання. Знайдемо кількість інформації Фішера за формулою (3.1). В даному випадку величина X, що спостерігається, приймає два значення – 0 і 1 із ймовірностями відповідно: і . Маємо

, тобто . Саме таку дисперсію має дисперсія вибіркової частки w повторної вибірки: .

Отже, вибіркова частка w повторної вибірки є ефективною оцінкою генеральної частки p.►

◄ Приклад 3.2 Знайти ефективну оцінку генерального середнього (математичного сподівання a) повторної вибірки для нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв‘язання. У випадку нормального закону розподілу густина ймовірностей . Тоді

і

.

Тепер кількість інформації Фішера

.

Мінімально можлива оцінка дисперсії

Отже, вибіркове середнє повторної вибірки для нормально розподіленої генеральної сукупності є ефективною оцінкою генерального середнього . Ефективною ж оцінкою генеральної дисперсії є статистика

(3.3)

але для її знаходження необхідно знати генеральне середнє , яке в більшості випадків застосування вибіркового методу невідоме.►