Поняття оцінки параметрів

Нехай розподіл ознаки X – генеральної сукупності – задається функцією ймовірностей (для дискретної випадкової величини X) або густиною ймовірностей (для неперервної випадкової величини X), яка містить невідомий параметр θ. Наприклад, це параметр λ в розподілі Пуассона чи параметри a та для нормального закону розподілу і т.д. Про параметр θ намагаються судити по вибірці, що складається із значень (варіант) . Ці значення можна розглядати як частинні значення (реалізації) n незалежних випадкових величин , кожна з яких має той самий закон розподілу, що й сама випадкова величина X.

Означення 2.1 Оцінкою параметра θ називають кожну функцію результатів спостереження над випадковою величиною X ( по-іншому – статистику), за допомогою якої роблять висновки про значення параметра θ: .

Оскільки – випадкові величини, то і оцінка (на відміну від параметра, що оцінюється – величини невипадкової) є випадковою величиною, яка залежить від закону розподілу випадкової величини X та числа n.

Завжди існує множина функцій від результатів спостережень (від n «екземплярів» випадкової величини X), які можна запропонувати в якості параметра θ. Наприклад, якщо параметр θ є математичним сподіванням величини X, тобто генерального середнього , то в якості його оцінки по вибірці можна взяти: середнє арифметичне результатів спостережень – вибіркове середнє , моду , медіану , півсуму найбільшого і найменшого значень у вибірці, тобто і т.д. Про якість оцінки слід судити не за її індивідуальними значеннями, а лише за розподілом її значень у великій мережі дослідів, тобто за вибірковим розподілом оцінки. Для того, щоб значення було близьким до θ, необхідно поставити вимогу, щоб розкид випадкової величини відносно θ (що виражається, наприклад, математичним сподіванням квадрата відхилення оцінки від параметра, що оцінюється ) був найменшим. Така основна умова, яку має задовольняти «найкраща» оцінка.

Властивості оцінок

Означення 2.2 Оцінка параметра θ називається незміщеною, якщо її математичне сподівання рівне параметру, що оцінюється, тобто . В іншому випадку оцінка називається зміщеною.

Вимога незміщеності гарантує відсутність систематичних похибок при оцінюванні. Якщо при скінченному об’ємі вибірки n , тобто зміщення оцінки , але , то така оцінка називається асимптотично незміщеною.

Означення 2.3 Оцінка параметра θ називається спроможною, якщо вона задовольняє закону великих чисел, тобто збігається за ймовірністю до параметра, що оцінюється: ,

У випадку використання спроможних оцінок виправдовується збільшення об’єму вибірки, оскільки при цьому стають малоймовірними значні похибки при оцінюванні. Тому практичне значення мають тільки спроможні оцінки. Якщо оцінка параметра θ є незміщеною, а її дисперсія при , то оцінка є також спроможною. Це безпосередньо випливає з нерівності Чебишова .

Означення 2.4 Незміщена оцінка параметра θ називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра θ, обчислених за вибірками одного і того самого об’єму n.

Оскільки для зміщеної оцінки існує дисперсія , то ефективність є вирішальною властивістю, яка визначає якість оцінки.

Ефективність оцінки визначають співвідношенням: ,

де та – відповідно дисперсії ефективної та даної оцінок. Чим ближчим є e до 1, тим ефективнішою є оцінка. Якщо при , то така оцінка називається асимптотично ефективною.

В якості статистичних оцінок параметрів генеральної сукупності бажано використовувати оцінки, що задовольняють одночасно вимогам незміщеності, спроможності та ефективності. Однак, досягнути цього вдається не завжди.