Спрощені способи обчислення середнього арифметичного та дисперсії
Обчислення
середнього арифметичного
та
дисперсії
варіаційного
ряду можна спростити, якщо використовувати
не початкові варіанти
,
а нові варіанти
,
(1.7)
де
-
спеціально підібрані сталі. Із властивостей
середнього арифмети-
чного
і дисперсії випливає:
;
.
Тоді
Підставимо
вирази для
і
,
отримаємо:
;
(1.8)
.
(1.9)
Формули (1.8) і (1.9) значно спрощують розрахунки, якщо в якості k взяти величину інтервалу, а в якості с – середину центрального інтервалу.
◄Приклад 1.8 Обчислити спрощеним способом середнє арифметичне і дисперсію розподілу робітників за виробітком за даними табл. 1.1.
Розв’язання. Виберемо постійну k, рівну величині інтервалу, тобто
k
= 6, і постійну
c,
рівну середині п'ятого (одного з двох
центральних) інтервалу, тобто c
= 121. З формули 1.7 нові варіанти
.
Отримаємо
замість варіантів
= 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133 "прості"
варіанти
=
- 4, - 3,-2,-1, 0, 1, 2, 3.
Тепер
для обчислення
і
необхідно
знайти суми
і
.
Обчислення представимо у вигляді таблиці
(табл. 1.4).
Таблиця 1.4 |
||||||||
і |
Інтервали х |
Середина iнтервала
|
|
|
|
|
|
|
1 |
94,0-100,0 |
97 |
-4 |
3 |
-12 |
48 |
-3 |
27 |
2 |
100,0-106,0 |
103 |
-3 |
7 |
-21 |
63 |
-2 |
28 |
3 |
106,0-112,0 |
109 |
-2 |
11 |
-22 |
44 |
-1 |
11 |
4 |
112,0-118,0 |
115 |
-1 |
20 |
-20 |
20 |
0 |
0 |
5 |
118,0-124,0 |
121 |
0 |
28 |
0 |
0 |
1 |
28 |
6 |
124,0-130,0 |
127 |
1 |
19 |
19 |
19 |
2 |
76 |
7 |
130,0-136,0 |
133 |
2 |
10 |
20 |
40 |
3 |
90 |
8 |
136,0-142,0 |
139 |
3 |
2 |
6 |
18 |
4 |
32 |
|
|
|
|
100 |
-30 |
252 |
|
292 |
Знаходимо
.
Останній стовпчик – контрольний. Якщо
таблиця складена вірно, то
У
даному випадку
,
тобто всі обчислення є вірними. Тоді:
;
.►
Початкові і центральні моменти варіаційного ряду
Середнє арифметичне і дисперсія варіаційного ряду є частковими випадками більш загального поняття – моментів варіаційного ряду.
Означення
1.7
Початковий
момент
-го
порядку
варіаційного
ряду визначаються за формулою:
(1.10)
Очевидно,
що
,
тобто середнє арифметичне є моментом
першого порядку варіаційного ряду.
Означення
1.8 Центральний момент
-го
порядку
варіаційного ряду визначається за
формулою:
(1.11)
За допомогою моментів розподілу можна
не тільки описати центральну тенденцію,
розсіювання, але й інші особливості
варіаційної ознаки. Очевидно, що
використовуючи властивість середнього
арифметичного,
,
тобто центральний момент першого
порядку для будь-якого розподілу дорівнює
0, а другий момент є дисперсією варіаційного
ряду.
Означення 1.9 Коефіцієнтом асиметрії варіаційного ряду називається число
.
(1.12)
Якщо
,
тоді розподіл має симетричну форму.
При
кажуть
про позитивну (правосторонню) або
негативну (лівосторонню) асиметрію.
Означення 1.10 Ексцесом варіаційного ряду називається число
.
(1.13)
Ексцес
є показником «крутизни» варіаційного
ряду в порівнянні із нормальним
розподілом. Якщо
,
то полігон варіаційного ряду має більш
круту (пологу) вершину в порівняння з
нормальною кривою.
◄ Приклад 1.9 Обчислити коефіцієнт асиметрії та ексцес розподілу робітників за виробітком за даними таблиці 1.1.
Розв’язання. Коефіцієнт асиметрії та ексцес варіаційного ряду, що наведений в таблиці 1.1, обчислюємо за формулами 1.12 і 1.13:
;
.
Оскільки
коефіцієнт асиметрії від’ємний і
близький до нуля, розподіл робітників
за виробітком має незначну лівосторонню
асиметрію, а оскільки ексцес близький
до нуля, то розподіл за крутизною
наближається до нормального.
Середнє
арифметичне
,
дисперсія
та інші характеристики варіаційного
ряду є статистичними аналогами
математичного сподівання
,
дисперсії
та відповідних характеристик випадкової
величини Х.►