Середні величини

Середні величини характеризують значення ознаки, навколо якої концентруються спостереження. Найбільш поширеною із середніх величин є середнє арифметичне.

Означення 1.3 Середнім арифметичним варіаційного ряду називається сума добутків всіх варіант на відповідні частоти, поділена на суму частот:

(1.3)

де - варіанти дискретного ряду або середини інтервалів інтервального варіаційного ряду; - відповідні їм частоти; - кількість варіант, що не повторюються, або кількість інтервалів: .

Очевидно, що де - частоти варіант або інтервалів.

Рис. 1.1

Рис.1.2

◄ Приклад 1.3 Знайти середній виробіток робітників за даними табл.1.1.

Розв’язання. За формулою (1.3) для інтервального варіаційного ряду

де числа 97, 103,…, 133, 139 – середини відповідних інтервалів. Для незгрупованого ряду всі частоти а є «непов-ним» середнім арифметичним.►

_{Розглянемо} основні властивості середнього арифметичного, аналогічні властивостям математичного сподівання випадкової величини : 1. Середнє арифметичне сталої рівне самій сталій. _. 2. Якщо усі варіанти збільшити (зменшити) в одне і те ж число раз, то середнє арифметичне збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів:

або .

3. Якщо усі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те саме число, то середнє арифметичне збільшиться (зменшиться) на це число:

або .

4. Середнє арифметичне відхилень варіантів від середнього арифметичного дорівнює нулю: або .

5. Середнє арифметичне алгебраїчної суми декількох ознак дорівнює такій самій сумі середніх арифметичних цих ознак :

.

6. Якщо ряд складається з декількох груп, загальне середнє дорівнює середньому арифметичному групових середніх, причому вагами є об'єми груп: .

При розв’язанні практичних задач можуть застосовуватися і інші форми середнього, які можна отримати з середнього степеневого к-го порядку

, де .

Зауважимо, що при k = 1 отримуємо формулу середнього арифметичного. При інших значеннях k отримуємо формули:

- середнє гармонійне;

; - середнє геометричне.

Окрім розглянутих середніх величин, що називаються аналітичними, в статистичному аналізі застосовують структурні, або порядкові, середні.

З них найчастіше застосовуються медіана і мода.

Означення 1.4 Медіаною варіаційного ряду називається значення ознаки, що припадає на середину ранжируваного ряду спостережень.

Для дискретного варіаційного ряду з непарною кількістю членів медіана дорівнює центральній варіанті, а для ряду з парним - півсумі двох центральних варіант.

◄Приклад 1.4. Знайти медіану розподілу робітників по тарифному розряду за даними таблиці 1.2.

Розв’язання. n=50 –парне, отже, центральних варіант дві: і . Отже .►

^{Для інтервального варіаційного ряду знаходиться} медіанний інтервал, на який припадає середина ряду, а значення медіани на цьому інтервалі знаходять за допомогою лінійної інтерполяції. Зауважимо, що медіана може бути приблизно знайдена за допомогою кумуляты як значення ознаки, для якої .

Придатність медіани як міри центральної тенденції полягає в тому, що на неї не впливає зміна крайніх членів варіаційного ряду, якщо будь-який із них, менший медіани, залишається меншим від неї, а будь-який, більший медіани, продовжує бути більшим від неї. Медіану краще застосовувати (ніж середнє арифметичне) для ряду, у якого крайні варіанти в порівнянні з іншими виявилися надмірно великими або малими.

Означення 1.5 Модою варіаційного ряду називається варіанта, якій відповідає найбільша частота.

Наприклад, для варіаційного ряду табл. 1.2 мода = 5, оскільки цій варіанті відповідає найбільша частота . Для інтервального ряду знаходиться модальний інтервал, що має найбільшу частоту, а значення моди на цьому інтервалі визначають за допомогою лінійної інтерполяції. Проте, простіше моду можна знайти графічним шляхом за допомогою гістограми. Особливість моди як міри центральної тенденції полягає в тому, що вона не змінюється при зміні крайніх членів ряду, тобто має певну стійкість до варіації.

◄Приклад 1.5 Знайти медіану і моду розподілу робітників по виробітку за даними табл. 1.1

Розв’язання. На рис. 1.2 проведемо горизонтальну пряму у= 0,5 (або n =50), що відповідає накопиченій частості (або накопиченій частоті ), до перетину з графіком емпіричної функції розподілу (чи кумуляти). Абсциса точки перетину і буде медіаною варіаційного ряду : =119,9(%).

На гістограмі розподілу (рис. 1.2) знаходимо прямокутник з найбільшою частістю. Сполучаючи відрізками прямих вершини цього прямокутника із відповідними вершинами двох сусідніх прямокутників (див. рис. 1.2), отримаємо точку перетину цих відрізків (діагоналей), абсциса якої і буде модою варіаційного ряду: .►