Контрольні питання

1. Що називається варіаційним рядом?

2. Як складається емпірична функція розподілу?

3. Що таке «кумулята»?

4. Означення середнього арифметичного варіаційного ряду.

5. Чим відрізняються такі характеристики варіаційного ряду як мода і медіана?

6. Яка характеристика варіаційного ряду є аналогом математичного сподівання випадкової величини?

РОЗДІЛ 2

Основи математичної теорії вибіркового методу Загальні відомості про вибірковий метод

В практиці статистичних спостережень розрізняють два види спостережень: загальне, коли вивчаються всі об’єкти, і незагальне, вибіркове, коли вивчається частина об’єктів. Прикладом загального спостереження є перепис населення, що охоплює все населення країни. Вибірковим спостереженням є, наприклад, соціологічні дослідження, які охоплюють частину населення країни, області, району і т.ін.

Вся сукупність об’єктів (спостережень), що підлягають вивченню називається генеральною сукупністю. В математичній статистиці поняття генеральної сукупності трактується як сукупність всіх уявних спостережень, що могли б бути проведені за даним реальним комплексом умов. Поняття генеральної сукупності в певному значенні є аналогічним до поняття випадкової величини (закону розподілу ймовірностей, ймовірнісному простору).

Та частина об’єктів, що відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності, називається вибірковою сукупністю, чи вибіркою. Кількість об’єктів (спостережень) в генеральній чи вибірковій сукупності називається їх об’ємами. Генеральна сукупність може мати як скінченний, так і нескінченний об’єм.

Вибірку можна розглядати як деякий емпіричний аналог генеральної сукупності. Суть вибіркового методу полягає в тому, щоб по деякій частині генеральної сукупності (за вибіркою) видавати міркування про її властивості в цілому.

Переваги вибіркового методу

1. Дозволяє суттєво економити на витраті ресурсів (матеріальних, трудових, часових);

2. Являється єдино можливим у випадку нескінченної генеральної сукупності чи у випадку, коли дослідження пов’язане зі знищенням об’єктів, за якими ведеться спостереження (наприклад, дослідження довговічності електричних лампочок, граничних режимів роботи приладів і т.п.);

3. При тих самих витратах ресурсів дає можливість проведення поглибленого дослідження за рахунок розширення програми дослідження;

4. Дозволяє знизити похибки реєстрації, тобто розбіжності між істинним та зареєстрованим значеннями ознаки.

Основний недолік вибіркового методу – похибки дослідження, чи похибки репрезентативності (представництва).

Для того, щоб за даними вибірки мати можливість робити висновки про генеральну сукупність, вона повинна бути вибрана випадково. Випадковість відбору елементів у вибірку досягається дотриманням принципу рівної можливості всім елементам генеральної сукупності бути відібраними. На практиці це досягається тим, що постачання елементів у вибірку проводиться методом жеребкування (лотереї) чи за допомогою випадкових чисел, що містяться у спеціальних таблицях, чи вироблених ЕОМ за допомогою датчика випадкових чисел.

Вибірка називається репрезентативною (представницькою), якщо вона достатньо добре відтворює генеральну сукупність.

Розрізняють наступні види вибірок:

1. власно-випадкова вибірка, утворена випадковим вибором елементів

без роздроблення на частини чи групи;

2. механічна вибірка, в яку елементи з генеральної сукупності вибира-

ються через певний інтервал. Наприклад, якщо об’єм вибірки має складати 10% (10%-на вибірка), то відбирається кожний 10-й її елемент і т.д.;

3. типова (стратифікована) вибірка, в яку випадковим чином відбира-

ються елементи з типових груп, на які за деякою ознакою розбивається генеральна сукупність;

4. серійна (гніздова) вибірка, в яку випадковим чином відбираються не

елементи, а цілі групи сукупності (серії), а самі серії підлягають загальному спостереженню.

Використовують два способи утворення вибірки:

• повторний відбір (за схемою поверненої кулі), коли кожен елемент, випадково відібраний і досліджений, повертається у загальну сукупність і може бути повторно відібраним;

• безповторний відбір (за схемою неповерненої кулі) , коли відібраний елемент не повертається у загальну сукупність.

Математична теорія вибіркового методу базується на аналізі власно-випадкової вибірки. Розглядом цієї вибірки ми і обмежимось.

Позначимо

– значення ознаки (випадкової величини );

N та n – об’єми генеральної та вибіркової сукупностей;

та – кількість елементів генеральної та вибіркової сукупностей зі значеннями ознаки ;

та – кількість елементів генеральної та вибіркової сукупностей, що мають дану ознаку.

Середні арифметичні розподілу ознаки в генеральній та вибірковій сукупностях називаються відповідно генеральним та вибірковим середнім,

а дисперсії цих розподілів – генеральною та вибірковою дисперсіями.

Відношення кількості елементів генеральної та вибіркової сукупностей, що мають певні ознаки , до їх об’ємів, називаються відповідно генеральною і вибірковою частками. Всі формули зведемо в таблицю 2.1.

Таблиця 2.1

Найменування характеристики	Генеральна сукупність	Вибірка
Середнє	(2.1)	(2.2)
Дисперсія	(2.3)	(2.4)
Частка	(2.5)	(2.6)

Найважливішим завданням вибіркового методу є оцінка параметрів (характеристик) генеральної сукупності за даними вибірки. Теоретичною основою застосування вибіркового методу є закон великих чисел, згідно з яким при необмеженому збільшенні об’єму вибірки практично вірогідно, що випадкові вибіркові характеристики як завгодно близько наближаються (збігаються за ймовірністю) до певних параметрів генеральної сукупності.