Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки за помірно великими вибірками

Об’єм вибірки може бути не настільки великим (наприклад, десятки спостережень), щоб використовувати формулу замість

точної . В той же час, розподіл вибіркової частки w можна, як і раніше, вважати наближено-нормальним. В цьому випадку довірчий інтервал для генеральної частки слід шукати з умови

. Піднесемо обидві частини цієї нерівності в квадрат, зведемо її до рівносильної: .

Областю розв’язку цієї нерівності є внутрішня частина еліпса, що проходить через точки (0;0) і (1;1) і має в цих точках дотичні, паралельні осі абсцис. Оскільки величина w знаходиться між 0 і 1, то область D необхідно ще обмежити зліва і справа прямими і (наявність «зайвих областей», що виходять за смугу , пояснюється тим, що при значеннях p, близьких до 0 чи 1 припущення про нормальний закон розподілу w стає неправомірним). За знайденим по вибірці значенням w межі довірчого інтервалу для p визначаються як точки перетину відповідної вертикальної прямої з еліпсом (рис. 3.2).

Чим більший об’єм вибірки n, тим «довірчий еліпс» більш витягнутий, тим вужчий довірчий інтервал. Границі і довірчого інтервалу для p можуть бути знайдені за формулою:

.

У випадку великих вибірок , при , величинами (у порівнянні з 1), (у порівнянні з w), (у порівнянні з ) можна знехтувати, і отримаємо:

.

Рис. 3.2

◄ Приклад 3.5 З партії, що містить близько 2000 деталей, для перевірки за схемою власно-випадкової безповторної вибірки було відібрано 200 деталей, серед яких виявилось 184 стандартних. Знайти: а) ймовірність того, що частка нестандартних деталей у всій партії відрізняється від отриманої частки у вибірці не більше, ніж на 0,02 (за абсолютною величиною); б) межі, в яких з надійністю 0,95 знаходиться частка нестандартних деталей в партії; в) знайти границі, в яких з надійністю 0,95 знаходиться частка p нестандартних виробів у всій партії, вважаючи n=50, w=0.08, .

Розв’язання. Маємо , , нестандартних деталей .

а) Знайдемо середню квадратичну похибку безповторної вибірки для частки: .

Тепер знайдемо шукану довірчу ймовірність :

, тобто ймовірність того, що вибрана частка нестандартних деталей буде відрізнятись від генеральної частки не більше ніж на 0,02 (по абсолютній величині), дорівнює 0,729.

б) Враховуючи, що і (за таблицею для значень функції Лапласа) , знайдемо граничну похибку вибірки для частки: . Тепер визначаємо шуканий довірчий інтервал: або . Отже, з надійністю 0,95 частка нестандартних деталей у всій партії знаходиться в межах від 0,044 до 0,116.

в) Вважаючи, що t = 1,96, знайдемо довірчі границі для генеральної частки p:

= або p₁=0,032 , p₂=0,188, тобто з надійністю 0,95 частка нестандартних виробів у всій партії знаходиться в проміжку від 0,032 до 0,188.►