52. Точки разрыва первого рода
Если в точке 
существуют
конечные пределы 
и 
,
такие, что 
,
то точка
называется точкой
разрыва первого рода.
Пример
Функция 
в
точке 
имеет
разрыв первого рода, так как
,
а 
53. Точки разрыва второго рода.
Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.
Пример
Для функции 
точка 
-
точка разрыва второго рода, так как 
.
54. Признаки существования функций.
Не всякая функция имеет предел. Так
функции 
и 
при
не имеют пределов.
Теорема 8. Если функция
заключена между двумя функциями 
и 
,
стремящихся к одному и тому же пределу,
то он так же стремится к этому пределу,
т. е. если
и 
,
то
Теорема 9. Если функция
является монотонной и ограниченной при
или при 
,
то существует ее левый предел
или
ее правый предел
55. Элементарные функции и их непрерывность.
Пусть функция
определена в точке 
и в некоторой окрестности этой точки.
Функция
называется непрерывной в точке
,
если существует предел функции в этой
точке и он равен значению функции в этой
точке, т. е.
Это означает, что вычисление предела
функции в точке
сводится к вычислению значения функции
в точке
.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если точка разрыва функции , то в ней не выполняется одно из следующих условий:
1) Функция определена в окрестности
точки
,
но не определена в самой точке (рис. 2);
2) функция определена в точке
и ее окрестности, но не существует
предела при
.
Например, функция
график которой изображен на рис. 3.
3) функция определена в точке
и ее окрестности, существует 
но этот предел не равен значению
в точке
(рис. 4).
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют пределы слева и справа, но они не равны
Этому условию соответствуют точки, указанные на рисунках 2 и 3.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если, по крайней мере, один из односторонних пределов равен плюс или минус бесконечности (рис. 4).
56. Производная функции и ее геометрический, физический и экономический смысл.
Пусть функция
определена на некотором интервале 
и 
.
Производной функции
в точке 
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю,
т. е.
Функция
,
имеющая производную в каждой точке
интервала
,
называется дифференцируемой на этом
интервале. Операция нахождения
производной функции называется
дифференцированием. Величину 
называют приращением функции и
обозначают 
.
Физический смысл. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
57. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной, что показывает следующий пример.
Пример. Пусть 
.
Тогда в точке 
функция непрерывна, но не имеет
производной. Действительно
Пределы справа и слева не совпадают, следовательно, производной в точке не существует.
58. Производная суммы двух функций.
Теорема 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций, т. е.
Т3. Числовой множитель (константу) можно выносить за знак производной, т. е.
59. Производная произведения двух функций.
Теорема 4. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.
60. Производная частного двух функций.
Производная частного двух функций
,
если 
,
равна дроби, числитель которой есть
разность произведений знаменателя
дроби на производную числителя и
числителя дроби на производную
знаменателя, а знаменатель есть квадрат
прежнего знаменателя, т. е
61 Производная сложной функции
Пусть 
некоторая функция, где 
так же функция, тогда выражение 
является функцией, которая называется
сложной функцией от переменной
.
Переменная 
в этом случае называется промежуточной.
Теорема 6. Если функция
имеет производную 
в точке
,
а функция
имеет производную 
в точке
,
то сложная функция
имеет производную 
в точке
,
которая находится по формуле 
.
62,
Производная обратной функции |
||||||
|
||||||
Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a,b). Если в этом интервале существует точка x0, такая, что f′(x0)≠0, то функция x=φ(y), обратная к функции y=f(x), также дифференцируема в точке y0=f(x0) и ее производная равна φ′(y0)=1f′(x0). Докажем приведенную теорему о производной обратной функции. Пусть переменная y получает в точке y0 приращение Δy≠0. Соответствующее ему приращение переменной x в точке x0 обозначим как Δx, причем Δx≠0 в силу строгой монотонности функцииy=f(x). Запишем отношение приращений в виде ΔxΔy=1ΔyΔx. Допустим, что Δy→0. Тогда Δx→0, поскольку обратная функция x=φ(y) является непрерывной в точке y0. В пределе, при Δx→0, правая часть записанного соотношения становится равной limΔx→01ΔyΔx=1limΔx→0ΔyΔx=1f′(x0). В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: limΔy→0ΔxΔy=φ′(y0). Таким образом, φ′(y0)=1f′(x0), то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции. В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции y=f(x) с помощью производной обратной функции x=φ(y). или Формула
Известно свойство степеней, что
тогда
Используя производную степенной функции:
будем иметь:
63. Логарифмическое дифференцирование
Для
функций вида Суть метода логарифмического дифференцирования
Суть
такого дифференцирования заключается
в следующем: вначале находится логарифм заданной
функции, а уже затем вычисляется от
него производная. Пусть задана некоторая
функция
Далее
продифференцируем полученное равенство
при условии, что
А
тогда, выражая искомую производную
|
для
упрощения нахождения производной
рациональнее использовать логарифмическое
дифференцирование.
.
Прологарифмируем левую и правую части
данного выражения:
является
функцией от 
,
то есть найдемпроизводную
сложной функции:
,
в результате имеем:
