34. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Смешанным произведением трех векторов
называется скалярное произведение
векторов 
и
,
т. е. 
.
Построим на векторах
,
и
параллелепипед (рис. 10). Тогда смешанное
произведение векторов
,
и
по модулю равно
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем пирамиды, построенных на
этих
векторах будет равен 
.
Свойства смешанного произведения.
1)
Смешанное произведение векторов не
меняется при их перестановке 
2) смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведений, т. е.
;
3) смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух его векторов, т. е.
;
4) смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда когда они компланарны.
Выражение смешанного произведения векторов через их координаты.
Пусть
,
,
Тогда
35. Арифметические - мерные векторные пространства и их примеры.
Арифметическим
- вектором называют упорядоченный
набор из
действительных чисел. Обозначается как
,
где 
– действительные числа. Вектор 0 –
наз-ся нулевым
- вектором.
Пусть
,
λ – некоторое число Определим сумму
– векторов и произведение
– вектора на число λ следующим образом:
,
.
Множество всех
- мерных векторов называется арифметическим
векторным пространством и
обозначается - 
.
Так в качестве 
можно рассматривать множество всех
векторов на плоскости, 
– множество всех векторов в пространстве.
Для
любых векторов 
и чисел 
выполняются следующие свойства:
1)
(ассоциативность суммы векторов);
2)
3)
(наличие противоположного вектора);
4)
(коммутативность);
5)
6)
7)
8)
Свойства 1 – 8 называются аксиомами – векторного пространства.
Скалярным
произведением 
двух
– векторов 
и 
называется число, равное
.
Свойства длины – вектора.
,
для любого
– вектора 
и числа 
.
,
для любых
– векторов
и 
(неравенство треугольника).
Угол 
между векторами
и
определяется равенством 
36. Базис векторного пространства, примеры.
Пример
1. Для трехмерных векторов 
пространства
,
вектор 
является линейной комбинацией векторов
и 
.
Система
- векторов 
называется линейно независимой,
если из того, что 
,
всегда следует
в противном случае система называется линейно зависимой.
Линейная зависимость
:
Пусть
и векторы 
являются линейно зависимыми, тогда одно
из чисел 
и 
,
.
Система векторов - мерного пространства зависима тогда и только тогда, когда ранг матрицы, строки которой являются векторами системы меньше их количества. Если же ранг матрицы в точности равен количеству этих векторов, то они являются линейно независимыми.
Рангом системы – векторов называется максимальное количество линейно независимых векторов этой системы.
Пример 2. В пространстве
единичные векторы 
,
и 
являются линейно независимыми.
Базисом - мерного векторного пространства называется любая линейно - независимая система векторов, через которые можно выразить любой вектор пространства. Базисов в пространстве может быть бесконечное множество. Количество векторов в базисе пространства называется его размерностью.
Теорема 1. Базис - мерного пространства состоит из векторов.
Координаты векторов.
Если
в пространстве
выбран некоторый базис
,
то для произвольного вектора
справедливо представление
Числа
называются координатами вектора
в базисе
.
В различных базисах пространства
один и тот же вектор будет иметь различные
координаты.