Метод обратной матрицы.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
,
где 
,
,
.
Умножим обе части матричного уравнения
слева на матрицу 
.
Так как 
,
то получаем 
,
откуда получаем равенство для нахождения
неизвестных
.
31. Векторы и линейные операции над ними.
Вектор – направленный прямолинейный
отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и
определенное направление. Если 
– начало вектора, 
– его конец, то такой вектор обозначается
как 
,
или 
.
Вектор 
называется противоположным вектору
.
Длиной или модулем вектора
называется длина отрезка 
и обозначается 
.
Вектор, длина которого равна нулю,
называется нулевым вектором и
обозначается как 
.
Считается, что он не имеет направления.
Вектор, длина которого равна 1, называется
единичным вектором и обозначается
как 
.
Векторы
и 
называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.Нулевой вектор
считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора считаются равными 
,
если они одинаково направлены и имеют
одинаковые длины. Три вектора в
пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной или параллельных
плоскостях.
Линейные операции над векторами.
С
ложение
векторов. вектор, начало которого
совпадает с началом
,
конец – с концом вектора
,
называется суммой векторов
и
и обозначается как 
(рис. 3). Это правило сложения векторов
называется правилом треугольника.
Если
у векторов
и
совместить начала и построить на их
основе параллелограмм, то его диагональ,
проходящая через это начало будет равна
так же вектору
(рис. 35). Это правило называется правилом
парал-ма.
Разностью
векторов
и
называется сумма векторов
и 
(рис. 4). Таким образом, в параллелограмме,
построенном на векторах
и
,
одна диагональ будет равна сумме этих
векторов, другая – их разностью (рис.
5). По свойству сторон и диагоналей
параллелограмма справедлива формула
Для любых векторов
и
,
чисел 
и 
справедливы следующие соотношения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
32. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
.
С другой стороны скалярное произведение
можно представить как произведение
длины одного вектора на длину проекции
на него второго вектора(
рис.
7).
.
Ненулевые векторы
и
,
если угол между ними составляет 
.
В этом случае 
и выполняется равенство 
Свойства скалярного произведения векторов.
1) 
;
2) 
3) 
;
4) 
.
Пусть в пространстве заданы векторы
и 
.их
скалярное произведение имеет вид
33. Векторное произведение векторов и его свойства.
Векторным произведением вектора
на вектор
называется вектор 
,
который удовлетворяет следующим трем
свойствам (рис. 8):
1) вектор
перпендикулярен векторам
и
,
т. е. 
и 
;
2) вектор
имеет длину, равную площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
т. е. 
;
3) вектор направлен в ту сторону, из которой поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки.
Свойства векторного произведения.
1) Для любых векторов
и
справедливо равенство 
;
2) для любого числа 
справедливо 
;
3) ненулевые векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их векторное произведение равно нулевому
вектору 
.
4) 
.
В частности, для единичных векторов
(орт) 
(рис. 9) справедливы соотношения
,
,
,
.
Выражение векторного произведения через координаты векторов.
Пусть 
и 
.
Тогда
Таким образом
Это есть символическая формула для вычисления координат векторного произведения через координаты исходных векторов.
Площадь треугольника, построенного на векторах и равна
