Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из конкретных особенностей данной функции. 77. Формулы Маклорена и Тейлора

Рассмотрим многочлен  -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней  , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его  раз по переменной  , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке  :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена   степени  .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен   по степеням разности  , где   - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена   в окрестности точки  .

78. А.Функции нескольких переменныхОсновные понятия.

Определение. Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений

( ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определённое значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = ( ).

Пример. Формула V = R²H задаёт объём цилиндра V как функцию двух переменных V(R;H), где R − радиус основания, H − высота цилиндра.

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, zзависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество X называется область определения функции.Рассмотрим некоторые примеры функции нескольких переменных:Функцияz = , где , − постоянные числа, называется линейной.Функцияz = , где − постоянные числа, называется квадратической.Одно из базовых понятий экономической теории − функция полезности. Эта функция z = ( ), выражающая полезность от n приобретённых товаров . Чаще всего встречаются следующие её виды а) z = , где , , − логарифмическая функция б) z = , где , , − функция постоянной эластичности.Также часто в экономике встречается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов. Например, при n = 2 для величины общественного продукта z = , где − затраты труда, − объём производственных фондов, − постоянные числа.В дальнейшем будем вести изложение для функции двух переменных (n= 2). При этом, практически все понятия и теоремы, сформулированные для n =2, легко переносятся и на случай n> 2 кроме того, рассмотрения двух переменных позволяет использовать наглядную иллюстрацию.

79. В.Частные производные первого порядка.

Пусть задана функция z = . Так как и ─ независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять своё значение. Дадим независимой переменной приращение , сохраняя значение неизменным. Тогда z получим приращение, которое называется частным приращением z по xи обозначается . Итак,

= .

Аналогично определяется частное приращение zпо у:

= .

Полное приращение функции z определяется равенством

= .

Если существует предел = , то он называется частной производной функции z = в точке М по переменной и обозначается одним из символов: , , , . Частные производные по в точке М₀ обозначают символами ,

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = по переменной : = = .

Таким образом, частная производная функции нескольких переменных (двух, трёх и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной (при этом соответственно и считается постоянной величиной).

Г.Частные производные высших порядков.

Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

= = = ;

= = = ;

= = = ;

= = = .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. порядков.

Частные производные и называются смешанными частнымипроизводными.

Теорема 1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличаются лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для z = имеем:

= .

Д.Дифференцируемость и полный дифференциал.

Пусть функция z = определена в некоторой окрестности точки М . Напомним, что полное приращение функции в точке М:

.

Определение. Функция z = называется дифференцируемой в точке М , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

А + В + ,

где и при , . Сумма первых двух слагаемых в этом равенстве называется главной частью приращения функции. Главная часть приращения функции z = называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

= А + В .

Выражения А и В называют частным дифференциалами. Для независимых переменных и полагают = , . Поэтому

А + В .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции).

Если функция z = дифференцируема в точке М , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные

и , причём = А, = В.

Таким образом, полный дифференциал функции z = вычисляется по формуле .

Следующая теорема даёт достаточные условия дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = имеет непрерывные частные производные и в точке М , то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой

.

Из определения дифференциала функции z = следует, что при достаточно малых и имеет место приближённое равенство . Так как

, то имеем формулу