90.В.Таблица основных неопределённых интегралов.

1. dx = x + C, 6.cosxdx = sinx + C,

2. x^dx = + C,(> 0) 7.sinxdx = - cosx + C,

3.  dx = ℓnx+ C, 8. dx = tgx + C,

4. a^xdx = + C, (a > 0) 9. dx = - ctgx + C,

5. e^xdx = e^x + C, 10. =arcsinx + C =-arccosx+ C

11.  dx = arctgx + C = - arcctgx + C.

Замечание. Формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда вместо х поставить некоторую дифференцируемую функцию u = u(x), т.е. можно записать обобщённую таблицу простейших неопределённых интегралов: 1. du = u + C, 2. u^du = + C ( 1)

и т.д.

91,92. В.Понятие об основных методах интегрирования.

Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.

Теорема. Если F(x) ─ первообразная функции f(x), а х = (t) ─ дифференцируемая функция f((t))'(t) также имеет первообразную, причём

f((t))'(t)dt = F((t)) + C.

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле

udv = uv ─vdu ,

где u = u(x), v = v(x) ─ некоторые дифференцируемые функции.

94. Интегрирование тригонометрических выражений.

95. Интегрирование некоторых иррациональностей и дифференциального бинома.

96. Определенный интеграл и его свойства.

Определённым интегралом от функции на [ ] называется, конечный предел её интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Обозначается: , где – называется подинтегральной функцией, – переменной интегрирования, ─ нижним пределом интегрирования, – верхним пределом интегрирования.

Следовательно, по определению

=

Из определения следует, что величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

= = … = .

Функция, для которой существует предел (2.3), называется интегрируемой на [ ].

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что если и f(x) ≥ 0, то определённый интеграл от функции по отрезку [ ] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа прямыми , снизу  осью .

Свойства определенного интеграла

Свойство 2.1. По определению полагаем

= 0.

Свойство 2.2. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный, т. е.

= − .

Свойство 2.3. Свойство аддитивности.

Если промежуток интегрирования [ ] разбит на конечное число отрезков , , …, , то

= + + … + .

Свойство 2.4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е. = .

Свойство 2.5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, = +…+ .

Свойство 2.6. Если функция интегрируема на [ ], где , и ≥ 0 для всех [ ], то ≥ 0.

Свойство 2.7. Если функции , φ(x) интегрируемы на [ ], где , и ≤ φ(x) для всех [ ] , то ≤ .

Свойство 2.8. Если функция интегрируема на [ ], где , то функция │ │ также интегрируема на [ ], причём

.

97. Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке [ ]. Тогда, если функция F(x) является некоторой её первообразной на этом отрезке, то справедлива следующая формула

= F( ) – F( ). (2.6)

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

98. Несобственные интегралы 1 и 2 родов.

Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы первого рода)

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1) пределы интегрирования и являются конечными; 2) подынтегральная функция ограничена на . В этом случае определённый интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.

Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)

Несобственный интеграл (3.2) или (3.3) называется сходящимся, если существует конечный предел соответствующего определённого интеграла; в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл (3.1) называется сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части.

99. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x)

100. Вычисление площадей с помощью определённых интегралов.

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),   и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и  :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),   и осью Ох:

101. Длина дуги плоской кривой.

П усть плоская кривая задана уравнением , где  непрерывная на функция. Если производная также непрерывна на , то длина дуги данной кривой (Рисунок 2.5.) вычисляется по формуле

.

102. Применение интегрального исчисления в экономике.

Тогда как на экономических направлениях велика роль интеграла в моделировании экономических процессов. Для исследования и моделирования процессов, которые происходят в экономике, интегральное исчисление дает широкий математический аппарат

103. Дисконтированная стоимость денежного потока.

Дисконтирование денежных потоков — это приведение стоимости потоков платежей, выполненных в разные моменты времени, к стоимости на текущий момент времени.

Дисконтирование каждого платежа денежного потока выполняется путем умножения суммы платежа на коэффициент дисконтирования Kd:

Kd= 1/(1+D)ⁿ

104. Модели экономического роста.

105. Формула прямоугольников.

106. Формула трапеций.

107. Формула Симпсона.

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке   интерполяционным многочленом второй степени  , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке  :

где  ,   и   — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

108. Понятие дифференциального уравнения, его общего и частного решений.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. Следовательно, общий вид ДУ n-го порядка следующий.

= 0. (7.1)

Например, уравнения

а) , б)

соответственно ДУ 1-го и 2-го порядков.

Функция , которая при подстановке её в уравнение (7.1) обращает это уравнение в тождество, называется решением этого уравнения.

109. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(7.4)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (7.4) можно записать в виде

, .

Делим обе части уравнения на .

Интегрируя обе части, получаем общий интеграл уравнения (7.4):

.

110. Решение дифференциальных однородных уравнений 1-го порядка.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка имеет общий вид

(7.2)

или вид

, (7.3)

если уравнение (7.2) можно разрешить относительно .

Решение уравнение (7.3), содержащее произвольную постоянную , т. е. имеющее вид , называется общим решением этого уравнения. Иногда решение получается в неявной форме или . Такое решение называют общим интегралом уравнения (7.2). Решение, которое получается из общего при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , называется частным решением. Условие, что при функция должна равняться числу , называется начальным условием. Начальное условие даёт возможность выделить из общего решения частное решение.

111. Уравнение Бернулли.

где a(x) и b(x) − непрерывные функции.  Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.  В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки

112. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах и метод интегрирующего множителя.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции  , т.е.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области   изменения переменных   и   выполнялось условие

(2)

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид   или

113. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F − заданная функция указанных аргументов.  Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.  В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией.

114. Решение линейных однородных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

(8.2)

Для решения данного уравнения составляют характеристическое уравнение .

Возможны три случая:

а) . Тогда  корни характеристического уравнения и уравнение (2) имеет общее решение вида .

б) . Тогда и общее решение уравнения (8.2) имеет вид

.

в) . Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид

.

115. Решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

(8.3)

где  постоянные числа,  известная функция от .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (8.3) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (8.2) и частного решения данного неоднородного уравнения.

Так как находить общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами мы умеем, то осталось указать способ нахождения частного решения данного неоднородного линейного ДУ. При рассмотрении этой задачи мы ограничимся лишь простейшими правыми частями уравнения

.

1. Правая часть уравнения есть показательная функция, т. е.

.

1. если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде ;

б) если характеристическое уравнение имеет два равных корня и  один из корней, то частное решение ищем в виде ;

в) если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, равных числу , то частное решение ищут в виде .

116. Числовые ряды и их сходимость на примерах геометрической прогрессии и гармонического ряда.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел . Символ

обозначаемый , называется числовым рядом или просто рядом, а числа  членами числового ряда. Суммы конечного числа членов ряда , …, называются частными суммами (или отрезками) числового ряда. Рассмотрим последовательность . Если существует предел , то числовой ряд называется сходящимся, а число  суммой этого ряда. В этом случае пишут

= = .

Если же последовательность не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Пример 6.1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии : .

Если , то = = .

Если прогрессия бесконечно убывающая, т. е. , то = = .

Это означает, что при ряд расходится и его сумма равна .

При получаем ряд 1+1+1+…+1+…. Тогда = и = , т. е. при ряд расходится.

117. Свойства сходящихся рядов.

Свойство 6.1. Если в ряде = отбросить конечное число первых членов, то получим ряд

,

который называется -ым остатком данного ряда. -ый остаток данного ряда сходится (или расходится) одновременно с данным рядом. Это означает, что при исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его первых членов.

Свойство 6.2. Необходимый признак сходимости ряда:

общий член сходящегося ряда стремится к нулю при , т. е. = 0. Это означает, что если  0, то ряд расходится.

Свойство 6.3. Если ряд сходится и его сумма равна , то ряд , где произвольное число, также сходится и его сумма равна .

Свойство 6.4. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то ряд также сходится и его сумма .

118. Необходимый признак сходимости ряда.

119. Признак сравнения числовых рядов.

Признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда

= (6.1)

= (6.2)

Если выполняется условие , то из сходимости ряда (6.2) следует сходимость ряда (6.1), а из расходимости ряда (6.1) следует расходимость ряда (6.2).

120. Признак Даламбера для числовых рядов.

Признак Даламбера. Если члены положительного ряда таковы, что существует предел , то при ряд расходится, а при сходится.

121. Радикальный и интегральный признаки Коши.

Пусть члены положительного ряда такие, что где функция при непрерывна, положительна убывает. Тогда данный ряд и несобственный интеграл сходится или расходится одновременно.

122. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Если члены знакочередующегося ряда (6.3) удовлетворяют условиям: а) ; б) = 0,

то знакочередующийся ряд сходится.

123. Степенной ряд и радиус его сходимости.

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты   берутся из некоторого кольца  .

Так называют радиус круга сходимости степенного ряда   на комплексной плоскости (или степенного ряда   на действительной числовой оси), т.е. такое число r, что ряд сходится при |z| < r (соответственно при |x| < r) и расходится при |z| > r (соответственно при |x| > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например: Формула Даламбера; Формула Коши

124. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, вычислять приближенные значения ф-ий, приближенно вычислять некоторые "неберущиеся" определенные интегралы.