25. Обратная матрица и ее свойства.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной к матрице , если выполняется следующее условие: . В этом случае обозначают .

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет свою обратную матрицу. Следствие: Для произвольной матрицы

обратная матрица имеет вид

Другой способ вычисления обратной матрицы - метод элементарных преобразований. Для матрицы и единичной матрицы составляется расширенная матрица , которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду . Можно показать, что в этом случае .

• Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

__________________________________________________________________

26. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пусть дана невырожденная матрица А, составим сдвоенную матрицу с помощью элемент преобразований сделам так, чтобы на месте А стояла матрица Е, так что (А|E)~(E|C)

_____________________________________________________________________

27. Теорема Кронекера - Копелли.

Система видa

называется системой - линейных уравнений с неизвестными.

Теорема 2. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной ( .

Теорема 3. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

__________________________________________________________________

28. Правило Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

причем , т. е. система имеет единственное решение.

Обозначим

. . . . . . . . . . . . . . ,

Тогда формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера, имеют вид:

___________________________________________________________________

29. Метод Гаусса.

Метод заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:

На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

,

где , которой соответствует система

После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть.

На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения

выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные .

_______________________________________________________________________