Функции нескольких переменных
Пусть есть область изменения независимых переменных и .
Переменная
называется функцией независимых
переменных
и
на множестве
,
если каждой паре чисел
из
соответствует определенное значение
.
Переменные
и
называются аргументами функции
.
Множество пар чисел , , на котором определена функция, называется областью определения.
Функция
называется непрерывной функцией в точке
,
если выполнено условие
.
Функция
называется непрерывной в области, если
она непрерывна в каждой точке этой
области.
Рассмотрим
произвольную точку
области
.
Если переменная
сохраняет постоянное значение
,
то переменная
становится функцией одной независимой
переменной
,
именно
.
Найдем производную функции
в точке
.
Для этого дадим
приращение
,
функция получит приращение
,
называемое частным приращением функции по переменной .
Определение.
Частной производной функции
по переменной
в точке
называется предел (если он существует)
отношения соответствующего частного
приращения функции
к вызвавшему его приращению независимой
переменной
,
когда
стремится к нулю:
и обозначается
.
Аналогично определяется частная производная функции по переменной :
Выражение
называется полным дифференциалом.
Предположим,
что в уравнении
и
являются функциями независимых переменных
и
.
В этом случае
есть сложная функция от аргументов
и
,
тогда
Если
задана функция
,
где
в свою очередь зависят от одного аргумента
,
то, по сути дела,
является функцией только одной переменной
и можно ставить вопрос о нахождении
производной
;
но т.к.
-
функции только одного
,
то частные производные обращаются в
обыкновенные; кроме того,
;
поэтому
.
Пусть
имеем функцию двух переменных:
.
Частные производные
и
,
вообще говоря, являются функциями
переменных
и
.
Поэтому от них можно снова находить
частные производные. Следовательно,
частных производных второго порядка
от функции двух переменных четыре, т.к.
каждую из функций
и
можно дифференцировать как по
,
так и по
.
Вторые частные производные обозначают
так:
,
здесь
дифференцируется последовательно два
раза по
;
,
здесь
дифференцируется
по
,
а потом результат дифференцируется по
;
,
здесь
дифференцируется
по
,
а потом результат дифференцируется по
;
,
здесь
дифференцируется последовательно два
раза по
.
Заметим,
что
.
Комплексные числа Комплексные числа и действия над ними
Комплексным
числом
называется выражение вида
(алгебраическая форма комплексного
числа), где
и
- любые действительные числа,
мнимая
единица, удовлетворяющая условию
.
Числа
и
называются соответственно действительной
и мнимой частями комплексного числа
и обозначаются
.
Комплексное число
называется сопряженным комплексному
числу
.
Комплексные числа
и
считаются равными тогда и только тогда,
когда
.
Комплексное число
изображается в плоскости
точкой
,
либо вектором
,
начало которого находится в начале
координат, а конец в точке
(рис.12). Длина вектора
называется модулем комплексного числа
и обозначается
,
так что
.
Угол
,
образованный вектором
и осью
,
называется аргументом комплексного
числа
и обозначается
;
он определяется не однозначно, а с
точностью до слагаемого, кратного
:
,
где
есть главное значение
,
определяемое условиями
,
причем
