Нормальное уравнение плоскости
Всякую
плоскость можно задать следующими
параметрами: длиной
перпендикуляра, опущенного из начала
координат на плоскость, и направляющими
косинусами
этого перпендикуляра.
Пусть
–
произвольная точка плоскости.
Рассмотрим
три вектора:
.
Для
того, чтобы точка
принадлежала данной плоскости, необходимо
и достаточно, чтобы векторы
и
были перпендикулярны, т.е.
или
.
Следовательно,
и
(4)
Уравнение (4) выражает собой условие, при котором точка лежит на данной плоскости, и называется нормальным уравнением этой плоскости.
Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду
Пусть
дано общее уравнение плоскости
.
Чтобы привести общее уравнение плоскости
к нормальному виду, надо его разделить
на длину вектора
,
взяв её со знаком + или - , смотря по тому,
будет ли свободный член
отрицательным
или положительным. Иными словами, для
приведения общего уравнения (3) первой
степени к нормальному виду нужно умножить
его на множитель
(5)
причём
знак множителя следует взять противоположным
знаку свободного члена
в
уравнении (3). Заметим, что при
знак множителя выбирается произвольно.
Этот множитель
называется
нормирующим
множителем.
После умножения на уравнение (3) примет вид:
и совпадает с нормальным уравнением (4). Следовательно, имеем:
(6)
Подставив найденное по формуле (5) значение в последние равенства, получим:
(7)
В
этих формулах (7) надо брать верхние
знаки, если
,
и нижние знаки в противном случае.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Требуется
найти уравнение плоскости, проходящей
через точку
.
Запишем уравнение плоскости в общем
виде:
.
Т.к. по условию
искомая плоскость проходит через точку
,
то координаты этой точки должны
удовлетворять этому уравнению
,
т.е.
.
Вычитая это тождество из
первоначального уравнения, получим
искомое уравнение:
Итак, уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид:
.
(8)
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Требуется
найти уравнение плоскости, проходящей
через три данные точки
не лежащие на одной прямой.
На
плоскости выберем произвольную точку
и образуем три вектора
.
Эти векторы принадлежат одной плоскости,
т.е. они компланарны. Необходимым и
достаточным условием компланарности
трёх векторов является то, что смешанное
их произведение равно нулю, т.е.
.
Найдём
координаты этих векторов:
Переходя к координатам, получим уравнение в координатах:
(
9 )