Прямая и плоскость Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть дана прямая и плоскость . Углом φ между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость. Из рис.16 видно, что угол между векторами и будет равен:

Но , следовательно, , или

(22)

Числитель взят по абсолютной величине, так как .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

(23)

Условие параллельности прямой и плоскости

(24)

Пересечение прямой и плоскости

Пусть даны уравнения прямой линии:

и уравнение плоскости:

Координаты точки пересечения прямой линии с плоскостью должны одновременно удовлетворять и урав-нениям прямой и уравнению плоскости. Другими словами нужно совместно решить уравнения Представив уравнения прямой в параметрической форме:

и подставив эти значения во второе уравнение, получим:

или

, откуда находим:

(25)

Подставив значение в параметрические уравнения прямой линии получим координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Проведём анализ полученной формулы (25):

1. если , то , вычисленное по формуле (25), имеет определённое конечное значение. Следовательно, в этом случае прямая пересекает плоскость в одной точке;

2. если , то, в силу первого равенства прямая параллельна плоскости, в силу второго неравенства, точка (a, b, c), через которую проходит прямая, не принадлежит плоскости. Следовательно, прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью;

3. если , то, в силу первого равенства прямая параллельна плоскости и в силу второго равенства точка (a, b, c), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости. Следовательно, прямая вся лежит в плоскости.

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости

_{Две прямые в пространстве, вообще говоря, не лежат в одной плоскости. Выясним, при каком условии две прямые}

лежат в одной плоскости (рис.20).

Соединим точки М₁ и М₂ между собой, тогда вектор будет иметь проекции

Из геометрических соображений ясно, что данные прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда три вектора компланарны. Следовательно, искомое условие заключается в равенстве нулю смешанного произведения этих трёх векторов, т.е. .

Переписав это условие в проекциях, получим:

(26)

Уравнение пучка плоскостей

Пусть уравнения данной прямой . Составим уравнение первой

степени: , (27)

которое при любом значении постоянного определяет плоскость. Если точка лежит на данной прямой, то её координаты одновременно удовлетворяют обоим уравнениям этой прямой и, следовательно, уравнению (27) при любом значении . Таким образом, уравнение (27) определяет плоскости, проходящие через данную прямую. Обратно, всякая такая плоскость определяется одной точкой , лежащей вне данной прямой линии; значение постоянного , соответствующее этой плоскости, найдётся из условия

,

если только . Таким образом, уравнение (27) при соответствующем выборе определяет любую плоскость, проходящую через данную прямую, за исключением лишь одной из них, именно плоскости

Уравнение

(27)

называется уравнением пучка плоскостей.

В В Е Д Е Н И Е В А Н А Л И З