Уравнения прямой в параметрической форме

Пусть дано уравнения прямой в канонической форме: . Полагая общее значение трёх отношений канонических уравнений равным , получим

откуда

(17)

Уравнения (17) называются уравнениями прямой в параметрической форме.

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть нужно найти уравнения прямой, проходящей через точки и . Будем искать эти уравнения в канонической форме .

Так как прямая проходит через точку , то её координаты можно подставить вместо . В результате получим: .

Но точка также принадлежит этой прямой, следовательно, её координаты также удовлетворяют уравнениям прямой, т.е. координаты точки можно подставить вместо текущих координат прямой: , откуда ,

, .

Подставив полученные значения в предыдущее уравнение, получим:

(18)

Уравнения (18) представляют собой уравнениями прямой, проходящей через две точки.

Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду

От общих уравнений прямой (15) можно перейти к её каноническим уравнениям. Для этой цели мы должны знать какую-нибудь точку прямой и направляющий вектор.

Координаты точки легко найти из данной системы уравнений, выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему двух уравнений относительно оставшихся двух координат.

Для отыскания направляющего вектора прямой заметим, что этот вектор, направленный по линии пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярным к обоим нормальным векторам и этих плоскостей. Обратно, всякий вектор, перпендикулярный к и , параллелен обеим плоскостям, а следовательно, и данной прямой. Но векторное произведение также обладает этим свойством. Поэтому за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.

Взаимное расположение двух прямых

Пусть уравнения двух прямых линий суть:

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. При этом мы условимся брать угол в границах от 0 до π, если не сделано дополнительных указаний. Из рис.15 видно, что за угол φ между ними можно принять угол между их направляющими векторами и дополняющий его до π. Поэтому используя формулу угла между двумя векторами, получим: