Замена переменной в определенном интеграле
Для
вычисления многих определенных интегралов
полезно заменять переменную интегрирования.
При этом, если определенный интеграл
преобразуется
при помощи подстановки
в другой интеграл, с новой переменной
интегрирования
,
то старые пределы
необходимо заменить новыми пределами
,
которые определяются из исходной
подстановки, т.е. из уравнений
.
Если
непрерывна на отрезке
,
то
.
Приложение определенного интеграла
Площади плоских фигур
Если
непрерывная кривая задана в прямоугольных
координатах уравнением
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя
вертикалями в точках
и
и отрезком оси абсцисс
(рис.1), определяется формулой
В
общем случае, если площадь ограничена
двумя непрерывными кривыми
и
и двумя вертикалями
и
,
где
при
(рис.2), то будем иметь:
Если кривая задана
уравнениями в параметрической форме
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя
вертикалями, соответствующими
и
,
и отрезком оси
,
выражается интегралом
,
где
и
определяются из уравнений
и
на отрезке
.
Если непрерывная
кривая задана в полярных координатах
уравнением
,
то площадь сектора
(рис.3),
ограниченного дугой кривой и двумя
полярными радиусами
и
,
соответствующими значениям
и
,
выразится интегралом
Длина дуги кривой
Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то длина дуги, содержащейся между двумя точками с абсциссами и , равна
.
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме , то длина дуги кривой равна
,
где и - значения параметра, соответствующие концам дуги.
Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги равна
,
где
и
- значения полярного угла в крайних
точках дуги.
Объем тела
Объем
тела, образованного вращением криволинейной
трапеции, ограниченной кривой
, осью
и двумя вертикалями
и
,
вокруг осей
и
Выражается
соответственно формулами:
1)
;
2)
Использованная литература:
Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко, Математика
Н.В. Богомолов, Практические занятия по математике
А.Н. Рублёв, Курс линейной алгебры и аналитической геометрии
Д.И. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии
И.И. Привалов, Аналитическая геометрия
С.И. Фролов и др., Курс высшей математики
О.Н. Цубербиллер, Задачи и упражнения по аналитической геометрии
Э.С. Маркович, Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики
Н.А. Сахарников, Высшая математика
Н.С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, ч.1
Г.Н. Берман, Сборник задач по курсу математического анализа
П.Е. Дюбюк и др., Сборник задач по курсу высшей математики
Г.С. Бараненков и др., Задачи и упражнения по математическому анализу