Декартовы координаты в пространстве

Проведём из некоторой точки пространства три прямые, не лежащие в одной плоскости и поместим на каждой из них соответственно единичные векторы Обозначим прямые через Векторы , очевидно, образуют базис пространства Прямые называются осями координат. Пусть в пространстве введена общая система декартовых координат с координатным базисом Возьмём произвольную точку пространства, она определяет некоторый вектор (рис. 1). Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с некоторой точкой , называется радиус-вектором точки . Согласно разделу векторной алгебры имеем , где – координаты вектора в базисе . Координаты точки будем записывать в круглых скобках рядом с буквой, которой обозначена сама точка .

Если оси координат взаимно перпендикулярны и векторы - единичные, то система координат называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве. При этом единичные векторы осей прямоугольной декартовой системы координат называются ортами и обозначают .

Координаты вектора в базисе являются его проекциями на соответствующие векторы базиса, т.е.

(1)

Простейшие задачи аналитической геометрии.

Задача 1. Найти расстояние между точками и через координаты этих точек.

Расстояние между точками равно модулю вектора (рис. 3). Имеем:

, отсюда

(2)

Задача 2. Найти координаты точки А, делящий отрезок в данном отношении (рис.4).

Из условия следует (1)

Из рисунка 4 имеем: и . Откуда и . Подставив найденные значения в (1), получим: откуда или . Так как координаты точки А являются координаты вектора в базисе , то

.

Плоскость. Различные виды уравнения плоскости Общее уравнение плоскости

Теорема. Любая плоскость имеет своим уравнением в декартовых координатах уравнение вида , где - постоянные. И обратно, если постоянные не равны нулю одновременно, то существует плоскость, для которой уравнение является её уравнением ( в декартовых координатах ).

Доказательство. 1. Пусть - какая-нибудь точка плоскости и - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Тогда, какова бы ни была точка плоскости векторы и перпендикулярны (рис. 5). Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения т.е. . Пусть координаты вектора . Так как вектор имеет координаты , то

или

.

Обозначив , получим . Первая часть теоремы доказана.

2. Пусть - какое-нибудь решение уравнения . Тогда, подставив вместо получим , откуда , и уравнение можно переписать в виде , или, в векторной форме . Отсюда следует, что все точки плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно вектору , удовлетворяют уравнению и, следовательно, оно является уравнением этой плоскости.

Вектор , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение

(3)

называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при в этом уравнении представляют координаты её нормального вектора в базисе .