- •3.Абсолютна величина числа
- •4.Межі числових множин
- •5. Множина комплексних чисел
- •6.Геометрична інтерпретація комплексних чисел
- •13. Системи визначника n-го порядку. Властивості визначників
- •14.Системи лінійних неоднорідних рівнянь. Роз’язання систем лінійних неоднорідних методом Крамера
- •18. Квадратичні форми
- •15. Лінійні простори
- •16. Евклідові простори. Ортогоналізація в евклідовому просторі
- •17. Характеристичні ( власні) числа та власні вектори матриці
- •4.5. Границя числової послідовності.
- •Загальні властивості збіжних послідовностей.
- •Безмежно мала величина та її властивості
- •4.6. Границя функції. Теореми про границі. Ліва та права границі.
- •4 .7. Дві визначні границі.
- •50.Число e
- •51.Границя функцій
- •52.Теореми границі функції
- •53.Перша визначна границя функції:
- •54. Друга визначна границя функції:
- •55.Нескінченно малі і великі функції
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції
- •60. Операції над неперервними функціями
- •62. Перша і друга теореми Вейєрштрасса.
- •63. Поняття рівномірної неперервності. Теорема Кантора.
- •64. Поняття оберненої функції. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •65. Поняття похідної, геометричний зміст похідної. Права і ліва похідні.
- •6 6. Поняття диференційовності функції в точці. Зв'язок між диференційовністю та неперервністю функції.
- •67. Похідна суми, частки, добутку функцій.
- •70 Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •Диференціал функції
- •86.Асимптоти кривої. Загальна схема дослідження функції.
- •87.Загальний план дослідження функції та побудови її графіків.
- •88, 89. Функції двох змінних
- •90. Неперевність функції багатьох змінних
- •91. Основні властивості непервності функції
- •101.Формула тейлора для функції багатьох змінних
- •102.Поняття неявної функції. Теорема існування і диференційованості неявної функції
- •103.Екстремум функції двох та багатьох змінних. Необхідні і достатні умови екстремуму
- •104.Екстремуми функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.
64. Поняття оберненої функції. Теорема про неперервність оберненої функції.
Лема: Нехай функція y f (x) зростає (спадає) на множині X і нехай Y - множина її значень. Тоді існує обернена функція x f 1 ( y) , яка є зростаючою (спадною) функцією на множині Y .
Доведення: Нехай для визначеності функція y f (x) зростає на множині X .
Доведемо, що існує обернена функція, тобто для довільного y Y множина |
|||||||||
f 1 ( y) містить лише один елемент. Припустимо супротивне: нехай існує y Y |
|||||||||
таке, що множина f 1 ( y) містить принаймні дві різні точки x1 |
і x2 : |
|
|||||||
x1 |
f 1 ( y), |
x2 |
f 1 ( y), x1 x2 , |
отже f (x1 ) f (x2 ) y . |
Та оскільки x1 |
x2 , то |
|||
x1 |
x2 або |
x1 x2 . З огляду |
на |
зростання y f (x) |
у |
випадку x1 x2 |
маємо |
||
f (x1 ) f (x2 ) , а |
випадку x1 x2 |
маємо f (x1 ) f (x2 ) . Як бачимо, співвідношення |
|||||||
f (x1 ) f (x2 ) y |
не виконується, отже, зроблене припущення невірне. Існування |
||||||||
оберненої функції доведено. |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема (про |
неперервність |
оберненої функції): |
нехай |
функція |
y f (x) |
||||
визначена, зростаюча (спадна) та неперервна на відрізку [a;b] . Тоді обернена
функція |
x f 1 ( y) |
визначена, зростаюча |
(спадна) |
і |
неперервна |
на відрізку |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[ f (a); f (b)] (на відрізку [ f (b); f (a)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Доведення: Розглянемо випадок зростаючої функції. Нехай |
f (a) , |
f (b) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оскільки |
min f (x) , max f (x) , |
то відрізок [; ] є |
множиною значень |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[a;b] |
|
[a;b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
функції |
y f (x) . Використовуючи попередню лему, |
одержуємо, |
що x f 1 ( y) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
визначена і зростаюча на відрізку [; ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Доведемо |
неперервність функції |
|
x f 1 ( y) . Нехай |
y0 (; ) |
|
і |
x0 f 1 ( y0 ) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оскільки функція |
x f 1 ( y) |
зростає, то a x0 b . |
Зафіксуємо |
довільне 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
таке, що a x0 x0 x0 b . Позначимо f (x0 ) y1 , |
f (x0 |
) y2 . Тоді з |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
огляду на монотонне зростання f (x) , |
y1 |
y0 y2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Виберемо 0 так, що y1 y0 y0 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Тепер якщо y U ( y0 ) , то тим паче y1 |
y y2 , і з огляду на монотонне зростання |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x f 1 ( y) |
виконується нерівність x |
0 |
f 1 |
( y ) f 1 ( y) f 1 |
( y |
2 |
) x |
0 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Як бачимо, для довільно вибраного 0 знайдено 0 таке, що |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(y U ( y0 ))f 1 ( y) U ( f 1 ( y0 )), отже, функція x f 1 ( y) неперервна в точці |
y0 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а з огляду на довільність y |
0 |
отримуємо f 1 |
( y) C |
(; ) |
. Аналогічно доводимо, |
що |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
функція x f 1 ( y) |
неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отже, f 1 ( y) C |
. Теорема доведена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
[; ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||