Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто

,

Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції 

Якщо в точці функція має скінченну границю справа і скінченну границю зліва й , то точка називається точкою розриву функції із скінченним стрибком.

Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.

 

60. Операції над неперервними функціями

Теорема. Якщо функції неперервні в точці , то функції у точці також неперервні.

Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.

61.

Перша теорема Больцано-Коші (теорема про обернення функції в нуль). Нехай функція неперервна на відрізку і на його кінцях значення функції мають різні знаки. Тоді існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена. Якщо , то виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, і позначимо її . Розділимо відрізок навпіл. Якщо , то теорема доведена, в іншому випадку виберемо ту половину відрізка , на кінцях якої функція має значення різних знаків, та позначимо її . Якщо цей процес продовжувати необмежено, то або на якомусь -ому кроці значення функції в середині відрізка буде рівним нулю і тоді теорема доведена, або одержимо послідовність укладених відрізків

таких, що при і на кінцях кожного з відрізків функція має значення різних знаків, .

За теоремою про вкладені відрізки існує точка , яка належить кожному із відрізків і . Ураховуючи неперервність функції (зокрема в точці ), маємо .

Звідси одержуємо .

Друга теорема Больцано-Коші (теорема про проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізка приймає значення де . Тоді для будь-якого числа існує точка така, що .

Доведення. Нехай для визначеності . Розглянемо допоміжну функцію

. Ця функція неперервна на відрізку і

, .

За першою теоремою Больцано-Коші існує точка така, що . Але . Отже, , тобто .

62. Перша і друга теореми Вейєрштрасса.

Теорема (перша теорема Вейєрштрасса): якщо функція неперервна на

відрізку [a;b] , то вона обмежена на ньому.
Доведення: методом від супротивного. З будь-якої послідовності xn									 цього
відрізка	можемо	виділити		підпослідовність xnk ,			що	сходяться
до x0 [a; b] . Нехай		f (x) необмежена на відрізку [a;b] , наприклад,						зверху, тоді
для	всякого	натурального		n  N знайдеться			точка xn		[a; b] ,
що f ( xn )  n . Надаючи n значення 1,2,3,…, ми отримаємо послідовність									точок
сегмента [a; b], для яких			виконано властивість f (x 1)> 1, f (x 2)> 2, f ( x 3)> 3
,..., f (xn)> n ... Послідовність (xn) обмежена					і тому	з неї	по теоремі		можна
виділити	підпослідовність (xnk), що			сходиться до		точки x 0 ∈ [a;		b]: lim k →
∞ xnk = x 0 (1) Розглянемо			відповідну		послідовність (f		(xnk)). З		одного

бокуf (xnk)> nk і тому lim k → ∞ f (xnk) = + ∞ (2), З іншого боку, враховуючи визначення безперервної функції з Гейне з (1) будемо мати lim k → ∞ f(xnk) = f (x 0) (3) Отримуємо рівності (2) і (3) суперечать теоремі (о єдиності межі). Це протиріччя і доводить справедливість теореми. Аналогічно доводиться обмеженість функції знизу. Теорема доведена.

Зауваження 1 Таким чином, якщо f безупинна на [a; b], то її безліч значень

обмежена і тому існує кінцеві верхня і нижня межа функції. C = inf x ∈ [a; b] f (x), d = sup x ∈ [a; b] f (x), але відкритий питання про досягнення функції

своїх граней.
	Зауваження	2:		Якщо слово відрізок в умові теореми замінити словом
інтервал		або		півінтервал,	то	теорема	може	і

порушитися. Приклад, y = tgx, tgx ∈ C ((- 2 π, 2 π)), але функція не обмежена на

цьому інтервалі.

Теорема (друга теорема Вейєрштрасса): якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на ньому своїх граней (тобто неперервна на відрізку

функція приймає своє найбільше і найменше значення).
Доведення: Нехай f (x) ∈ C ([a; b ]), c = inf x ∈ [a;					b] f (x), d = sup x∈ [a;
b] f (x). За	першою	теоремою	Вейєрштрасса c, d ∈ R . Доведемо, що f досягає
на [a;	b] своїх	граней,	тобто знайдуться	такі	точки x 1, x 2 ∈[a;

b], що f (x 1) = c, f (x 2) = d. Доведемо, наприклад, існування точки x 2.

За визначенням верхньої межі маємо (∀ x ∈ [a; b]) (f (x) = d). Припустимо

гидке, тобто точки x 2, у якій f (x 2) = d на [a; b], тоді на [a; b] виконується умова f (x) <d або d - f (x)> 0. Далі введемо допоміжну функцію φ (x) = 1 d - f (x). Φ (x) на [a; b] позитивна і неперервна (як відношення двох неперервних

на [a; b] функцій і d - f (x) /	= 0), тому по першій Т. Вейерштрасса φ (x) на [a;
b] обмежена. Це означає,	що при деякому М> 0 (∀ x ∈ [a; b]) (0 <1 d -

f (x) ≤ M), звідси маємо f (x) ≤ d - 1 M <d . Отримане			нерівність суперечить
тому, що d є верхньою	межею функції f (x) на [a;	b], тобто найменшим з
верхніх меж. Отримане	протиріччя і означає існування точки x 2 такої,
що f (x 2) = d.

Аналогічно доводиться існування точки x 1 ∈ [a; b], такий що f (x 1) = c.