70 Таблиця похідних основних елементарних функцій

	1)		;
	2)		,		( , або при );
	3)		,		( );
	4)		;
	5)		,		( );
	6)		,		( );
	7)		;
	8)		;
	9)		,		( );
10)		,		( );
11)		,		( );
12)		,		( );
13)		;
14)		;
15)		;
16)		;
17)		;
18)		,		( ).

Диференціал функції

Нехай функція має в даній точці скінченну похідну . Тоді , де , якщо . Звідки

.

Якщо  нескінченно малий приріст, то доданок є нескінченно малим вищого порядку, ніж доданок і якщо , то і нескінченно малі одного порядку.

Означення 3.3. Якщо функція має похідну в точці , то вираз називаєтьсядиференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто,

.

Зауваження. Диференціал функції в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності :

.

Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто

.

Для будь-якої диференційовної в точці х функції формулу (3.10) можна записати так:

.

Звідки отримаємо, що

, (*)

тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.

Геометричний зміст диференціала

Нехай , та існує . За означенням диференціала .

Рис. 3.4

Скористаємося геометричним змістом похідної: . З трикутника маємо: або . Але , тому . Отже, диференціал функції в точці визначає приріст ординати дотичної до кривої в точці при переході від абсциси до абсциси (рис. 3.4).

72

Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці випливає, що її приріст можна подати у вигляді: , де , якщо .

Отже, при малих має місце наближена рівність:

, тобто .

Звідки

. (3.12)

Формула (3.12) дозволяє знаходити значення функції в точці , якщо відомі значення і , з точністю

,

де .

73

Похідні та диференціали вищих порядків

(higher derivative, higher-order differential)

Нехай функція диференційовна на проміжку X, а  її похідна, яка також є функцією відносно x. Від цієї функції знову можна шукати похідну за умови, що вона існує на заданому проміжку. Похідна від похідної називається похідною другого порядку (second-order derivative) функції і позначається одним із символів:

.

Так у фізиці, якщо  закон, за яким змінюється пройдений шлях при прямолінійному русі точки, то є прискоренням (acceleration) цієї точки в момент часу t.

Аналогічно і т. д.

Взагалі похідною n-го порядку від функції називається похідна від похідної -го порядку і позначається

, або , або .

Зауваження. При , похідну n-го порядку позначають відповідно ; при позначають: або .

74. Параметрично задана функція. В геометрії, механіці, фізиці часто зустрічається параметричний спосіб задання рівняння, що описує криву на площині чи в просторі. Саму ж лінію можна розглядати як геометричне місце послідовних положень рухомої точки,координати   та   якої є функціями допоміжної змінної   (часу, швидкості, відстані і т.д.) Допоміжну змінну називають параметром, а рівняння функції – параметричним. Для прикладу, крива на площині визначається двома рівняннями

Похідна заданої функції першого порядку знаходиться за правилом

Друга похідна визначається залежністю параметром

Приклад.

75.1

Теорема Ферма — необхідна умова екстремуму.

Нехай дійсна функція f визначена в околі деякої точки   і має в цій точці похідну. Тоді якщо в цій точці f має екстремум то  .

Геометрично це означає, що дотична до графіка функції f в точці   паралельна до осі абсцис (ОХ).

75.2

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні прирости.

Якщо функція   неперервна на проміжку  , диференційована в  , то знайдеться принаймні одна точка   така, що має місце формула:

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

75.3

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції. Формулювання: Нехай функція   неперервна на проміжку  , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку  . Нехай, окрім того,  . Тоді на проміжку   знайдеться принаймні одна точка   така, що значення похідної у цій точці   дорівнює нулю.

75.4

Теоре́ма Больца́но-Коші — ділиться на дві частини, перша теорема про проходження неперервною функцією через нуль. Друга теорема узагальнює першу та стверджує, що якщо неперервна функція приймає два значення, то вона прийме й значення на відрізку між ними.

Перша теорема Больцано-Коші: Нехай функція f(x) визначена та неперервна в замкненому проміжку [a, b] та на кінцях даного проміжку приймає значення різних знаків. Тоді між a та b неодмінно знайдеться точка c, в якій функція обертається в нуль:

Друга теорема Больцано-Коші: Нехай функція f(x) визначена та неперервна на деякому проміжку X (замкнутому або ні, скінченному або нескінченному). Якщо в двох точках x=a та x=b (a < b) цього проміжку функція приймає нерівні значення та

то, яке б не було число С, що лежить між A та B, знайдеться така точка x = c між a та b, що f(c) = C

76.

Правило Лопіталя – це метод знаходження границь функції, розкриття невизначеностей вигляду і . Теорема, що обґрунтовує метод, стверджує що за деяких умов границя від частки функцій дорівнює границі частки їхніх похідних. Правило говорить, що якщо функції f(x) і g(x) задовольняють такі умови:

1. або  ;

2.

3. в проколотому околі ;

4.  і   — диференційовані в проколотому околі  ,

то існує .

Приклад.

77.

Формула Тейлора використовується при доведенні багатьох теорем у диференціальному численні. Якщо говорити нестрого, то формула Тейлора показує поведінку функції в околі деякої точки. Теорема:

1.Нехай функція   має  похідну в деякому околі точки  , 

2.Нехай 

3.Нехай   — довільне додатне число

тоді:  при  або   при  :

У випадку, якщо  , цей ряд також називають рядом Маклорена.

Формулою Маклорена для многочлена  степені  є:

78. РОЗКЛАД В РЯД МАКЛОРЕНА ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

79. Ознака монотонності функції.

Для того, щоб диференційована на проміжку X функція   не спадала (не зростала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна в усіх точках цього проміжку була невід’ємна (недодатна), тобто   ( ).

Якщо похідна функції в усіх точках проміжку додатна (від’ємна), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Схема дослідження функції на монотонність:

1.     З’ясовують область визначення заданої функції  .

2.     Шукають першу похідну функції  .

3.     Прирівнюють першу похідну до нуля і знаходять корені рівняння   та точки, в яких похідна не існує.

4.     Наносять одержані розв’язки рівняння   (зафарбовані точки) та точки, в яких похідна не існує («виколоті» точки), на числову вісь. Ці точки розбивають числову вісь на числові проміжки.

5.     Досліджують знак похідної на кожному числовому проміжку. З цією метою з кожного проміжку вибирають довільне значення (точку) та з’ясовують знак похідної в цій точці.

6.     За одержаними результатами формують відповідь.

Точки локального екстремуму

Екстремум -найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

-локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки

-глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Визначення - Точка називається точкою локального мінімуму або максимуму функції якщо для точки мінімуму, або для точки максимуму. Якщо знак нерівності строгий, то отримаємо строгий локальний мінімум або максимум.

Локальні екстремуми функції

Нехай задана функція у = f (х) на множині Х і х 0 - внутрішня точка безлічі Х.

Позначимо через U (х 0) околиця точки х 0. У точці х 0 функція f (Х) має локальний максимум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) менше рівна f (Х 0).

Аналогічно: функція f (Х) має в точці х 0 локальний мінімум, якщо існує така околиця U (х 0) точки х 0, що для всіх х з цієї околиці виконана умова f (Х) більше рівна f (Х 0).

Точки локальних максимуму і мінімуму називаються точками локальних екстремумів, а значення функції в них - локальними екстремумами функції.

Нехай функція f (Х) визначена на відрізку [а, b] і має локальний екстремум на якомусь з кінців цього відрізка. Тоді такий екстремум називається локальним одностороннім або крайовим екстремумів. У цьому випадку відповідна околиця є правою для «а» і лівої для «b» полуокрестностью.

Достатня умова умовного екстремуму

Нехай є стаціонарною точкою функції Лагранжа при .

Як - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних при умові то є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.

Опуклість кривої та точки перегину

В математиці, точкою перегину, плоскої кривої називається точка кривої в якій змінюється знак кривизни. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від вгнутої.

Властивості

Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′(x).

Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.

Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:

Значення другої похідної в точці x=0 для цієї функції рівне нулю, отже дотичною в нулі буде пряма y=0. Ця пряма також перетинає графік функції в точці дотику, однак точка x=0 не є точкою перегину оскільки в довільному околі цієї точки знак другої похідної міняється нескінченну кількість разів.

Класифікація - Точки перегину можна класифікувати в залежності від того чи рівна нулю похідна f′(x) .

-якщо f′(x) рівна нулю, точка називається стаціонарною точкою перегину, або сідловою точкою

-якщо f′(x) не рівна нулю, точка називається нестаціонарною точкою перегину

Прикладом стаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x3. Прикладом нестаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x + x3.

Теорема про необхідні умови існування точки перегину

Теорема - Якщо при рафік функції має перегин, то цій точці дорівнює 0 або не існує.

Доведення - Нехай існує неперервна . Припустимо, що . Тоді існує окіл точки в якому , тобто графік вгнутий і не є точкою перегину. А графік функції показує, що є точкою перегину, а в цій точціне існує.

Теорема про достатні умови існування точки перегину

Теорема - Нехай - підозріла на перегин точка і функція двічі диференційована в околі точки за винятком, можливо, самої точки , в якій вона неперервна. Якщо друга похідна міняє знак при переході через точку , то є точкою перегину. Якщо друга похідна не міняє знак, то перегину в точці немає.

Доведення - Нехай в інтервалі , а в інтервалі . За теоремою умови опуклості, вгнутостіна графік функції опуклий, а на графік функції вгнутий. Враховуючи, що в точці функція неперервна, то за означенням в точці - перегин.