63. Поняття рівномірної неперервності. Теорема Кантора.
Функцію y f (x) називають рівномірно неперервною на множині X , якщо
( 0)( 0)(x', x'' X : x'x'' )f (x') f (x'') .
Заважимо, що головним в означенні рівномірної неперервності є те, що для будь-якого 0 існує 0 таке, що нерівність f (x') f (x'') виконується
одразу для всіх точок x' та x' ' з множини X за умови, що x'x'' .
Також зазначимо, що з рівномірної неперервності функції на множині X випливає її неперервність на цій множині. Справді, для цього досить в означенні (про рівномірну неперервність функції) замість x' ' взяти довільну фіксовану точку x0 з множини X . Отже, отримуємо неперервність функції в
точці x0 і, з огляду на довільність x0 , на множині X .
Теорема Кантора: Якщо функція y f (x) неперервна на відрізку [a;b] , то вона є
рівномірно неперервною на ньому. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Доведення: Припустимо |
супротивне: нехай функція |
y f (x) неперервна на |
|
|||||||||||||||||
відрізку [a;b] , проте не є рівномірно неперервною на ньому. |
|
|
||||||||||||||||||
Отже, для |
|
1 |
, |
|
n N , знайдуться точки точки xn' та xn'' |
, для яких виконуються |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
xn'' |
|
|
1 |
|
f (xn' ) f (xn'' ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нерівності |
xn' |
|
|
та |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оскільки xn' |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
- послідовність точок з [a;b] , то, згідно з теоремою Больцано- |
|
||||||||||||||||||
Вейєрштрасса, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність xnk' |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
випливає рівність |
|
|||||||||||||||
Нехай lim xnk' x0 . Заважимо, що x0 [a; b] . З умови |
xn' xn'' |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim xnk'' x0 . З урахуванням неперервності функції y f (x) |
на [a;b] і, зокрема, |
в |
|
|||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точці x0 , маємо lim f (xnk' ) f (x0 ) , lim f (xnk'' ) f (x0 ) , що суперечить нерівності |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (xn' ) f (xn'' ) . Отримали суперечність. Теорема доведена.