88, 89. Функції двох змінних

http://vk.com/doc105890560_345075620?hash=9572027b6b6cac49e6&dl=da872250298d63b9ab

(Тут все про функції багатьох змінних, пдф-файл у групі, який скидував Роман

РОЗДІЛ 4.1.2)

90. Неперевність функції багатьох змінних

Функція , , називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності точок

такої, що , при , послідовність

.

Функція називається неперервною на множині G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Приклад 1. показати, що функція

неперервна в будь-якій точці своєї області визначення.

Розв’язання. Задана функція в усіх точках , крім точок, в яких . Нехай - деяка точка з області визначення функції , тобто . Тепер для будь-якої послідовності точок такої, що і , при , маємо

.

Отже, задана функція перервна в довільні точці з області визначення.

Приклад 2. Показати, що функція трьох змінних

неперервна в будь-якій точці з області визначення.

Розв’язання. Задана функція визначена на множині G точок , які задовольняють нерівності .

Нехай . Тоді для будь-якої послідовності точок такої, що , , при , маємо

що й треба було довести.

Для функції багатьох змінних, як і для функції однієї змінної, доводять такі твердження:

сума і добуток двох неперервних на множині G функцій є неперервними на G функціями;

відношення двох неперервних на G функцій є неперервною функцією в усіх точках множини G, в яких знаменник не перетворюється в нуль.

Границі функції багатьох змінних.

Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може, самої точки . Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якої послідовності точок , таких що

, при і ≠ , послідовність , , збігається до числа А. У цьому разі пишуть

або при , .

Очевидно, якщо при , , то

де при , .

Оскільки границя функції багатьох змінних зводиться до границі числової послідовності, то для функцій багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, різниці, добутку і частки двох функцій, аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Приклад 1. Знайти границю функції

при , .

Розв’язання. Задана функція визначена в усіх точках площини, крім точки (0; 0) і .

Нехай , , - деяка послідовність точок площини така, що і , при . Тоді при

Отже, при , .

Приклад 2. Довести, що функція

не має границі при , .

Розв’язання. Розглянемо послідовності і , . очевидно, що , при , проте не має границі при . Отже, задана функція не має границі при , .

З означення границі функції в точці випливає, що коли при , то функція неперервна в точці ; і навпаки, якщо функція визначена в деякому околі точки , неперервна в точці , то

91. Основні властивості непервності функції

Теорема 7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

     Теорема 8. Якщо функції   та   неперервні в точці   , то в цій точці будуть неперервними  ,   при   .

     Теорема 9. Якщо функція   неперервна на замкненій обмеженій множині, то вона обмежена на цій множині.

     Теорема 10. Якщо функція   неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень на цій множині є як найменші, так і найбільші.

     Теорема 11 (про нуль неперервної функції). Нехай функція   неперервна на звязній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

     Теорема 12 (про проміжне значення). Нехай функція   неперервна на звязаній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень   та   . Тоді на цій множині вона набуває будь-яких значень   , яке лежить між   і   , тобто існує така точка   , що   .

92 Часткова похідна Спостерігати за цією сторінкоюВ математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі. Зміст ОзначенняПрикладиНотаціяФормальне означення та властивостіДжерела Означення Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже fa - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,...,xn) за змінною xi в точці (a1,...,an) записують так:В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,...xn) вевклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову

93 Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення xчасто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від yпов’язаний з dx формулою:де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δxпрямує до нуля.Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.[1]Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.[2]Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

94 Для функції однієї змінної твердження щодо її диференційовності та існування похідної є рівносильними. У випадку функції двох змінних ми маємо інше: існування частинних похідних - необхідна умова диференційовності функції в точці, але не є достатньою умовою диференційованості. Наприклад, для функціїу точці (0; 0): , . Але ця функція розривна в точці (0; 0), а тому функція не може бути диференційовною в цій точці. Таким чином, для диференційовності функції у точці недостатньо недостатньо тільки існування частинних похідних: потрібно додатково вимагати неперервності частинних похідних, що випливає з поданої далі теореми. Теорема 15. Якщо функція у деякому околі точки має неперервні частинні похідні, тоді вона диференційовна в точці . Зауваження. Можна навести твердження про звязок між поняттями неперервності і диференційовності функції двох змінних у точці, аналогічні до тих, що виконуються для функції однієї змінної. Теорема 16. Якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження неправильне.

95 В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі. Зміст ОзначенняПрикладиНотаціяФормальне означення та властивостіДжерела ОзначенняРедагувати Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже fa - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,...,xn) за змінною xi в точці (a1,...,an) записують так:В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,...xn) вевклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂xj по кожній змінній xj.

96 Диференціал (математика) Спостерігати за цією сторінкоюПриріст та лінійна частина приросту функції однієї змінноїДиференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x – змінна, тоді приріст значення xчасто позначається Δx (чи δx, якщо цей приріст малий). Диференціал dx також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал dy від yпов’язаний з dx формулою:де dy/dx позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δy/Δx де Δxпрямує до нуля.Диференціал як лінійне відображення. Цей підхід є основою визначення повної похідної і зовнішньої похідної в диференціальній геометрії.[1]Диференціал як нільпотентний елемент в комутативних кільцях. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.[2]Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея кількісного, тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а наскільки саме він малий.

97 Поверхня в математиці, особливо в топології, це двовимірний топологічний многовид.Найвідомішими прикладами є ті, які виникають як межа тіла у звичайному тривимірному евклідовому просторі R3. Наприклад, це поверхня кулі. З іншого боку, є поверхні, такі як пляшка Клейна, які не можуть бути вкладеними в тривимірний евклідів простір без особливостей або самоперетинів.Коли кажуть, що поверхня є «двовимірною», то це означає, що у кожної точки, існує окіл який можна відобразити без розриву на двовимірний круг.Поняття поверхні використовується в фізиці, будівництві, комп'ютерній графіці і багатьох інших областях, які мають справу з поверхнями фізичних об'єктів. Наприклад, при аналізі аеродинамічних властивостей літака, перш за все, звертають увагу на потік повітря уздовж його поверхні Способи заданняРедагувати В тривимірному просторі поверхню можна визначити неявно, як множину точок, координати яких задовольняють певному виду рівнянь:Якщо функція неперервна в деякій точці і має в ній неперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхню, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.На відміну від неявного способу завдання, поверхня може бути визначена явно, якщо одну зі змінних, наприклад z, можна виразити через інші:Також існує параметричний спосіб завдання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь: Приклад рівнянь площини та сфери Явне та неявне рівняння площини в E3, яка співпадає з площиною Oxy мають однаковий вигляд — z=0.Параметричне рівняння тієї ж площини: Неявне рівняння сфери одиничного радіуса с центром у початку координат в E3 — .Явне завдання сфери одним рівнянням не можливе. Можна явно описати дві півкулі — .Параметричне рівняння сфери:  Поняття про просту поверхню Докладніше: Проста поверхняІнтуїтивно просту поверхню можна представити як шматок площини, підданий безперервним деформаціям (розтягуваням, стисканням і згинанням).Більш строго, простою поверхнею називається обр

98.Похідна за напрямом .Градієнт функції багатьох змінних

Для характеристики швидкості зміни поля використовують поняття похідної за напрямом.

Розглянемо на множині D диференційовану функцію U =f(x,y,z) і точку

M (x,y,z) Проведемо з точки M вектор S{ , , } напрямні косинуси якого cos α= , cosβ= ,

cos γ = тоді похідна від функції U=f(x,y,z) в точці M(x,y,z)за напрямом вектора S буде обчислюватись за формулою:

Зазначимо, що будь-яка частинна похідна є окремим випадком похідної за напрямом.

Вектор, у якого проекціями на осі координат є значення частинних похідних функції U =f(x,y,z) в точці M(x,y,z) зветься градієнтом функції U .

U =

Якщо кут між векторами U і позначити через ϕ , то . Тобто похідна

дорівнює проекції U на вектор .

Якщо ϕ = 0 , то - найбільше значення похідної в точці M (у цьому випадку напрям вектора S збігається з напрямом градієнта).

Якщо ϕ = то похідна у напрямі вектора, перпендикулярного вектору U завжди дорівнює нулю.

99 . Частинні похідні функції багатьох змінних.

Частинними похідними другого порядку від функції z = f(x,y)називають частинні похідні від її похідних першого порядку i

Для функції двох змінних частинних похідних буде чотири. Вони позначаються таким чином:

функція послідовно диференціюється двічі по х;

функція спочатку диференціюється по х, а потім по

функція диференціюється спочатку по у, а потім по х;

функція диференціюється послідовно двічі по у.

Похідні другого порядку можна знову диференціювати.

Похідні і що вирізняються послідовністю диференціювання називаються мішаними. Мішані похідні, якщо вони неперервні, рівні між собою: =

Аналогічно визначаються частинні похідні вищих порядків, наприклад:

При цьому результат багаторазового диференціювання функції по різним змінним не залежить від послідовності диференціювання за цими змінними. Істотним є лише те, щоб обчислювані частинні похідні були неперервними.

100. Диференціали багатьох змінних вищих порядків.

Введемо поняття диференціала вищого порядку.

Нехай   функція незалежних змінних  , . Повний диференціал цієї функції, знайдений за формулою . називають ще диференціалом  першого порядку. Диференціал другого порядку визначають за формулою

.

Тоді, якщо функція   має неперервні частинні похідні, то

,

звідки

. (8)

Символічно це записують так:

.

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

.

Застосовуючи метод математичної індукції, можна отримати формулу для диференціала n-го порядку:

. (9)

Зазначимо, що формула (9) справедлива лише для випадку, коли змінні x і   функції   є

незалежними змінними.