101.Формула тейлора для функції багатьох змінних

102.Поняття неявної функції. Теорема існування і диференційованості неявної функції

Неявна функція — математична функція, задана за допомогою рівняння.

Для функції   від аргументу   таке рівняння записується в загальній формі

,де   - функція від двох аргументів, на відміну від явного задання функції:

.

Прикладом неявної функції може служити рівняння кола: ,

 — радіус кола.

Це рівняння задає двозначну функцію .

Похідна від неявної фунції знаходиться як

.

Теорема диференційованості: нехай ф-ція F(x,y) та її похідні Fх’ (x,y) та Fу’ (x,y) визначені та неперервні в будь-якому околі точки Мо та F=0, а Fу’ (x,y) не = 0, тоді існує окіл т Мо, в якому рівняння F(x,y) визначає єдину неявну ф-цію у=Ф(х), неперервну та диференц. В околі т Хо, таку, що Ф(хо)=уо

103.Екстремум функції двох та багатьох змінних. Необхідні і достатні умови екстремуму

Нехай функція z=f(x;y) визначена в деякій області точки (х₀,у₀). Кажуть, що функція z=f(x;y) має в точці (х₀,у₀) строгий максимум (мінімум), якщо f(x;y)<f(x₀;y₀) (f(x;y)>f(x₀;y₀)) для всіх точок (х;у), достатньо близьких до х₀, у_0. Точка (х₀,у₀) – точка максимуму (мінімуму).

Максимум і мінімум функції називають екстремумами функціями.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму).

Якщо диференційована функція z=f(x;y) має екстремум в точці Р₀ (х₀,у₀), то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто , .

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму).

Нехай функція z=f(x;y) неперервна в D(f) разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядків і точка Р₀(х₀,у₀) є критичною.

Знайдемо в точці Р₀ похідні другого порядку і позначимо:

, , .

Якщо AC-B²>0, то функція має в точці Р₀(х₀,у₀) екстремум: максимум якщо А<0 і мінімум якщо А>0.

Якщо АС-B²<0, то в точці Р₀(х₀,у₀) екстремуму немає.

Якщо АС-В²=0, то висновок про екстремум зробити не можна.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію z=xy-x²-2y²+x+10y-8.

• _{Знайдемо частинні похідні:}

• _{Прирівняємо частинні похідні до нуля і складемо систему}

_{Знайдемо із першого рівняння у=2х-1 і підставимо у друге:}

_{х = 2, у=3}

• _{Знайдемо частинні похідні другого порядку:}

_{Як бачимо, частинні похідні другого порядку дорівнюють сталим числам в будь-який точці, а значить і в точці Р0(2;3). Тому А=-2, В=1, С=-4.}

АС-В_{2=(-2)(-4)-1=7>0.}

104.Екстремуми функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.

Нехай функція z=f(x;y) визначена в деякій області точки (х₀,у₀). Кажуть, що функція z=f(x;y) має в точці (х₀,у₀) строгий максимум (мінімум), якщо f(x;y)<f(x₀;y₀) (f(x;y)>f(x₀;y₀)) для всіх точок (х;у), достатньо близьких до х₀, у_0. Точка (х₀,у₀) – точка максимуму (мінімуму).

Максимум і мінімум функції називають екстремумами функціями.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму).

Якщо диференційована функція z=f(x;y) має екстремум в точці Р₀ (х₀,у₀), то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто , .

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму).

Нехай функція z=f(x;y) неперервна в D(f) разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядків і точка Р₀(х₀,у₀) є критичною.

Знайдемо в точці Р₀ похідні другого порядку і позначимо:

, , .

Якщо AC-B²>0, то функція має в точці Р₀(х₀,у₀) екстремум: максимум якщо А<0 і мінімум якщо А>0.

Якщо АС-B²<0, то в точці Р₀(х₀,у₀) екстремуму немає.

Якщо АС-В²=0, то висновок про екстремум зробити не можна.