8. Морфологическая фильтрация

Математическая морфология – инструмент для извлечения некоторых компонент изображения, полезных для его представления и описания, например границ, остовов и выпуклых оболочек. Интерес также представляют морфологические методы, применяемые на этапах предварительной и заключительной обработки, например морфологические фильтрация, утончение и усечение.

В математической морфологии используется язык теории множеств. Морфология как таковая предлагает единый мощный подход для многочисленных задач обработки изображений. Множествами в математической морфологии представляются объекты на изображении. Например, множество всех черных пикселей двоичного изображения является одним из вариантов его полного морфологического описания. В двоичных изображениях обсуждаемые множества являются подмножествами двумерного целочисленного пространства Z² с элементами в виде пар чисел, т.е. двумерных векторов (х,у), координаты которых указывают на черный пиксель изображения. Полутоновые цифровые изображения могут быть описаны множествами, состоящими из элементов пространства Z³. В этом случае две координаты элемента множества указывают координаты пикселя, а третья соответствует дискретному значению яркости. Множества в пространствах более высокой размерности могут с помощью дополнительных координат описывать и другие характеристики изображения, например его цветовые компоненты или закон изменения во времени.

При морфологической обработке изображений выходными результатами являются некоторые атрибуты, извлекаемые из этих изображений. Такие инструменты, как морфология и сопутствующие ей концепции, играют роль краеугольного камня математических основ извлечения «смысла» изображения.

1. Операции математической морфологии

Напомним некоторые основные понятия из теории множеств, которые потребуются в дальнейшем. Пусть Еⁿ – n-мерное пространство. Примем Еⁿ = Rⁿ или Еⁿ = Zⁿ, где Rⁿ n-мерное евклидово пространство, a Zⁿ – n-мерное дискретное пространство (n-мерная решетка). В применении к изображениям, как правило, рассматриваются двумерные пространства.

Если Х={х} и Y={у}– множества в Еⁿ, то объединением множеств X и Y называется множество , т.е. множество, состоящее из таких элементов z, которые принадлежат X или Y. Пересечением множеств X и Y называется множество . Множество называется дополнением множества X. Разностью множеств X и Y называется множество . Множество Z называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается такое множество как .

Определим на Еⁿ индикаторную функцию множества X следующим образом:

.

Определим также меру множества X:

– для непрерывного пространства Rⁿ,

– для дискретного пространства Zⁿ.

Для изображений эти определения означают, что мерой множества X является его площадь в непрерывном случае и количество узлов решетки, входящих в множество Х, – в дискретном.

2. HM-преобразование

Базовым преобразованием, позволяющим строить набор различных операций математической морфологии, является преобразование Hit or Miss, далее будем пользоваться названием НМ-преобразование. Одним из основных понятий математической морфологии является понятие структурного элемента (примитива). Структурный элемент B – это множество, состоящее из двух непересекающихся подмножеств В¹ и В², для которых определено общее начало (Рис. 2.19).

Рис. 2.19. НМ-преобразование

Для данного множества и данного структурного элемента В результат НМ-преобразования определяется как

_. (2.8)

Здесь через X^с обозначено дополнение множества X .Нетрудно видеть (см. рис. 2.19), что в результате НМ-преобразования на исходном изображении выделяются элементы, окрестность которых совпадает со структурным элементом (форма окрестности определяется формой структурного элемента). Условие (2.8) выполняется для элементов, лежащих на нижней границе X (например, позиции 1-4 структурного элемента). В позиции 5: , но . В позиции 6 – наоборот, а в позиции 7 не выполняются оба условия.

Применяя НМ-преобразование с различными структурными элементами, можно выделять специфические геометрические особенности изображений.

3. Эрозия

Частным случаем НМ-преобразования является операция эрозии (erosion). Пусть в структурном элементе В подмножество В² пусто ( ). При этом условие всегда выполняется, и в множество Y включаются только те элементы исходного множества X , для которых выполняется условие :

. (2.9)

Иначе говоря, если , , то в множество Y включаются такие элементы, для которых выполняется условие (Рис. 2.20).

Рис. 2.20. Эрозия

С другой стороны, если b пробегает все возможные положения в B, условие x +b  X выполняется тогда и только тогда, когда х принадлежит смещенному множеству Х- b (Рис. 2.20). Поэтому другое, эквивалентное, представление операции эрозии имеет вид

, (2.10)

где – множество, симметричное В относительно его начала. Это представление может оказаться полезным при численной реализации эрозии.