4. Дилатация

Операцией, «обратной» к эрозии, является дилатация (dilation), которая определяется следующим образом (рис. 2.21):

. (2.11)

Ричсунок 2.21. Дилатация

Другое представление дилатации имеет вид

, (2.12)

Если рассматривать множество X как объект, а X_с как фон в изображении, то дилатацию объекта можно интерпретировать как эрозию фона:

. (2.13)

5. Алгебраические свойства дилатации и эрозии

Приведем ряд свойств рассмотренных операций.

Дистрибутивность: дилатация дистрибутивна относительно объединения

, (2.14)

а эрозия – относительно пересечения множеств

. (2.15)

Свойство дистрибутивности с учетом соотношения (2.11) позволяет выполнять операции над X по фрагментам, комбинируя затем результаты посредством объединения или пересечения.

_{Ассоциативность}:

, (2.16)

. (2.17)

Это чрезвычайно важное свойство, поскольку оно позволяет разлагать сложные структурные элементы в композицию более простых (рис. 2.22). Соответственно, операции со сложными элементами могут быть заменены последовательностью операций с более простыми. Так, эрозию некоего множества X посредством структурного элемента Н можно заменить четырьмя последовательными эрозиями со структурными элементами А, В, С, D (рис.2.22).

Инвариантность к изменению масштаба:

, (2.18)

. (2.19)

Эрозия и дилатация – операции, предназначенные в первую очередь для выявления различных морфологических особенностей изображений с использованием различных структурных элементов. Например, эрозия посредством круга с радиусом R позволяет найти в изображении объекты, минимальный поперечный размер которых превышает 2R.

Если же в качестве структурного элемента взять две точки, смещение между которыми определяется вектором h, эрозия позволит выделить объекты, имеющие соседей в направлении и на расстоянии, заданным этим вектором (рис. 2.23).

6. Применение морфологической дилатации

Одно из простейших применений дилатации – устранение разрывов линий путем их перекрытия. На рис. 2.24 показано изображение с разорванными символами и результат дилатации исходного изображения по примитиву.

0	1	0
1	1	1
0	1	0

Известно, что максимальная длина разрывов составляет два пикселя. Поверх разрывов образовались «мостики».

7. Применение морфологической эрозии

Одно из простейших применений эрозии состоит в исключении несущественных (по их размерам) деталей на двоичных изображениях. На рис. 2.25 приведено двоичное изображение, состоящее из квадратов с размерами сторон 1, 3, 5, 7, 9 и 15 пикселей.

П редположим, что задача состоит в том, чтобы убрать все квадраты, кроме самых больших. Это можно сделать путем применения к изображению операции эрозии по примитиву несколько меньших размеров, чем объекты, которые мы желаем сохранить. В этом примере выбран примитив с размерами 13×13 пикселей. Результат применения такой эрозии к исходному изображению показан на рис. 2.25. От самых больших квадратов остались только фрагменты. Как видно из рис.2.25, в, можно восстановить эти три квадрата до их исходных размеров 15×15 путем дилатации полученного изображения по тому же примитиву, что использовался при эрозии. Вообще говоря, дилатация не позволяет полностью восстанавливать объекты после эрозии. В данном примере на всех трех изображениях объекты представляются белыми пикселями в отличие от черных в предыдущем примере. На практике используются оба способа представления. Если не указано иное, в общем случае действует соглашение, что «активные» пиксели примитива принимают те же двоичные значения, что и интересующие объекты. Изложенные в этом примере идеи подготавливают основу для морфологической фильтрации, рассматриваемой в следующем разделе.