Утончение.

Утончение множества А по примитиву В, обозначаемое , можно определить с помощью HM-преобразования:

_.

Другое выражение для симметричного утончения множества А основано на последовательности примитивов {В¹,В²,В³,...,Вⁿ}, где Вⁱ получается из В^i-1 поворотом. На этой основе можно определить операцию утончения по последовательности примитивов следующим образом:

.

Процесс состоит в том, что на первом проходе производится утончение множества A по примитиву В¹, затем полученный результат подвергается утончению по примитиву В² за второй проход, и так далее вплоть до n-го прохода с примитивом Вⁿ. Весь этот процесс повторяется до тех пор, пока наблюдаются изменения.

На рис. 2.34, а приведен набор примитивов, обычно применяемых для утончения, а рис. 2.34, б демонстрирует пример множества, которое подвергается утончению с помощью описанной выше процедуры. На рис. 2.34, в показан результат утончения после одного сканирующего прохода по множеству А с помощью примитива В¹, а на рисунках 2.34, г – 2.34, л – результаты проходов с помощью других примитивов. Сходимость достигается после второго прохода с примитивом В⁴. Рис. 2.34, л демонстрирует результат утончения. В заключение на рис. 2.34, м показан результат преобразования утонченного множества.

Утолщение.

Утолщение представляет собой обратную морфологическую операцию по отношению к утончению, определяемую выражением

,

где В – подходящий примитив.

Как и в случае утончения, утолщение может определяться как последовательная операция:

.

Используемые для утолщения примитивы имеют ту же форму, что и показанные на рис. 2.34, а для операции утончения, но единицы и нули внутри примитивов меняются местами. Однако специальный алгоритм утолщения редко реализуется на практике. Вместо этого обычно применяется процедура, состоящая в утончении фона для рассматриваемого множества, а затем берется дополнение полученного результата. Иными словами, для утолщения множества А сначала строится множество С = А^с, проводится его утончение, а затем строится С^с. Рис. 2.35 иллюстрирует такую процедуру.

В зависимости от вида исходного множества А описанная процедура может привести к появлению отдельных изолированных точек, как видно на рис. 2.35, г. Поэтому вслед за таким методом утолщения обычно применяется несложный шаг финальной обработки, цель которой состоит в удалении изолированных точек.

Построение остова.

Как видно из рис. 2.36, понятие остова S(A) множества А является простым и интуитивно понятным. Множество точек, образующих остов А, может быть выражено с использованием операций эрозии и размыкания. Так, можно показать, что

при , где В — примитив, а запись обозначает k последовательных применений операции эрозии к множеству А.

Остов S(A) можно получить объединением подмножеств остова S_k(A). Кроме того, множество А может быть восстановлено по этим подмножествам с помощью уравнения

,

где обозначает последовательное применение дилатации к S_k(A) k раз.

Восстановленное множество приведено в шестой колонке внизу. Рис. 2.37 иллюстрирует описанный подход. В первой колонке сверхy вниз показаны исходное множество и результаты двух последовательных применений к нему операции эрозии по примитиву В. Во второй колонке показаны результаты применения к множеству из первой колонки операции размыкания по тому же примитиву В. В третьей колонке содержится просто разность множеств из первой и второй колонок. Четвертая колонка содержит (сверху вниз) две части остова и окончательный результат его построения. В пятой колонке показаны множества S₀(A), S₁(A) В и S₂(A) 2B = (S₂(A) В) B. Наконец, в шестой колонке показан процесс восстановления множества А.

Таблица 2.2.

Сводная таблица морфологических операций и их свойств

№	Операция	Уравнения	Примечания
1	2	3	4
1	Дилатация		«Расширение» границы множества А
2	Эрозия		«Сужение» границы множества А
3	Размыкание		Сглаживает контуры, разрывает узкие перешейки, убирает небольшие островки и острые выступы
4	Замыкание		Сглаживает контуры, заполняет узкие разрывы, углубления, отверстия
5	НМ-преобразование		Множество координат точек, в которых одновременно для В1 есть совпадения в А, а для В2 – в Ас.
6	Выделение границы		Множество граничных точек множества А.
7	Заполнение области		Заполняет область множества А, начиная с заданной внутренней точки р этой области.

Окончание таблицы 2.2

1	2	3	4
8	Выпуклая оболочка	,	Находит для А выпуклую оболочку С(А). Индекс «сход» указывает на момент сходимости
9	Утончение		Делает множество А «тоньше». Первые два уравнения являются базовым определением утончения. Вторые два уравнения отвечают утончению по последовательности примитивов. Этот метод обычно применяется на практике
10	Утолщение		Делает множество А «толще». Используются примитивы (IV), в которых нули заменяются единицами, а единицы – нулями.
11	Построение остова		Находит остов S(A) множества А, которое может быть восстановлено по подмножествам Sk(A).