Тема 5. Элементы теории управления запасами Управление запасами (Логистика запасов)

Логистика – наука о планировании, организации, управлении, контроле и регулировании движения материальных и информационных потоков в пространстве и во времени от их первичного источника до конечного потребителя. Логистическая наука и практика включает в себя закупочную (снабженческую) логистику, производственную логистику, маркетинговую (сбытовую, распределительную) логистику, транспортную логистику, логистику запасов, информационную (компьютерную) логистику и т.п. Отдельные составляющие логистики хорошо известны; новизна логистического подхода заключается в интеграции всех областей деятельности с целью минимизации затрат времени и ресурсов путем оптимального сквозного управления материальными, информационными потоками.

Предметом исследования операций в логистике являются задачи принятия оптимальных решений в логистической системе с управлением на основе оценки эффективности ее функционирования.

Одной из сфер производства, в которой успешно применяются методы исследования операций, является сфера управления запасами (логистика запасов). Задачи управления запасами возникают, когда экономический объект не может работать без производственных или товарных запасов, поскольку их отсутствие приводит к простоям, штрафам, потери клиентов и т.д. Управление запасами  — интегрированный процесс, обеспечивающий операции с запасами внутри фирмы и вне её — на всем протяжении цепи управления поставками. Политика управления запасами обязательно должна опираться на стратегию предприятия в целом. В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат. Она представляет собою суммарные затраты на поставку и хранение запасаемого ресурса, в том числе включая потери от его порчи при хранении и моральном старении, потери прибыли из-за иммобилизации затрат в оборотные средства, а также потери от штрафов и т.д. Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии пополнения и расхода запасов, при которой функция затрат принимает минимальное значение.

II-3.1 Концепция логистического подхода к управлению запасами

С позиций логистики процесс производства отдельного вида продукции можно упрощенно представить в виде следующей схемы:

Рис. 13 Схема производства отдельного вида продукции

В соответствии с этими тремя этапами логистика делится на следующие функциональные области: закупочная логистика, производственная логистика и распределительная (маркетинговая) логистика.

Более подробное рассмотрение движения материальных и информационных потоков в рамках отдельного производства представлено на рисунке 14.

Как видно из рисунка 14, предметы труда как перед, так и после каждого этапа обработки сосредотачиваются в виде запасов. Независимо от того, являются ли МП внешними или внутренними, при фиксации места их накопления мы сталкиваемся с понятием запасов. Таким образом запас – это форма существования МП.

Цели образования и соответствующие им виды запасов могут быть различными, но независимо от этого запасы представляют собой вторую по значимости после обработки составляющую производственного процесса. Именно запасы сырья, материалов, комплектующих и готовой продукции непосредственно увязывают организацию с ее поставщиками и потребителями, формируя цепи логистической системы экономики в целом.

Логистика запасов занимает ключевое место в логистической системе, как отдельной организации, так и экономики в целом.

Запасы относятся к типу объектов, требующих больших капиталовложений, и поэтому представляют собой один из факторов, определяющих политику предприятия и воздействующих на уровень логистического обслуживания в целом.

Исследование логистической системы управления запасами (ЛСУЗ) отвечает на следующие вопросы:

1. Какой уровень запасов необходимо иметь на любом предприятии для обеспечения требуемого уровня обслуживания потребителя?

2. В чем состоит компромисс между уровнем обслуживания потребителя и уровнем запасов в логистической системе?

3. Какие объемы запасов должны быть созданы на каждой стадии логистического и производственного процессов?

4. Каковы общие уровни запасов на данном предприятии связаны со специфическим уровнем обслуживания?

5. Каково значение компромисса между выбранным способом транспортировки и запасами?

6. Как меняются затраты на содержание запасов в зависимости от числа складов?

Суть концепции управления запасами во взаимосвязи ЛСУЗ с производством. Реализация современной концепции управления запасами стала возможной благодаря применению новых методов управления запасами, таких как «КАНБАН» и «точно в срок» (just in time).

Практическая реализация концепции логистики связана с оптимизацией совокупных запасов на фирме. Критерием оптимизации запасов как правило являются суммарные издержки на пополнение запасов, оформление договоров о поставках, содержание запасов, на потери от дефицита и т.д.

Р ис. 14 Схема движения материальных и информационных потоков

в рамках отдельного производства

II-3.2. Виды запасов

Запасы сырья, материалов, комплектующих и готовой продукции представляют собой материальные ценности, ожидающие производственного или личного потребления.

Критериями классификации запасов могут быть два параметра движения МП – пространства (местонахождения) и время, а также функция запаса (рис. 15).

Р ис. 15 Критерии классификации запасов

Рис. 16 Количественные уровни запасов

Классификация во времени позволяет выделять различные количественные уровни запасов (рис. 16).

К лассификация запасов по различным критериям приведена на рис. 17.

Рис. 17 Классификация запасов по различным критериям

II-3.3. Системы управления запасами и условия их применимости

Логистическая система управления запасами проектируется с целью непрерывного обеспечения потребителя каким-либо видом материального ресурса. Реализация этой цели достигается решением следующих задач:

определение характера спроса (статический или динамический, вероятностный – детерминированный);

учет текущего уровня запасов;

определение размеров гарантийного запаса;

расчёт размера запаса;

определение интервала времени между поставками.

Способы решения поставленных задач определяются в зависимости от характера спроса и принятой системы управления запасами (СУЗ).

Основными СУЗ являются следующие :

СУЗ с фиксированным размером заказа.

СУЗ с фиксированным интервалом времени между запасами.

СУЗ с установленной периодичностью пополнения запасов и меняющимся размером заказа.

В более сложных случаях управление запасами используются другие СУЗ, элементами которых являются основные СУЗ.

Применение основных СУЗ возможно только когда отклонения от запланированных показателей отсутствуют, и запасы потребляются равномерно.

II-3.4. Модели управления запасами (МУЗ)

Для решения задач управления запасами в различных СУЗ используются различные математические модели и методы их решения. Вид используемых моделей определяется характером спроса и ЛСУЗ. Для решения моделей управления запасами используют классические методы оптимизации, линейное, нелинейное, динамическое, стохастическое программирование и другие методы оптимизации.

II-3.4.1 Однопродуктовая статическая модель

Эта модель характеризуется постоянным во времени спросом (d), мгновенным пополнением запаса ( ) и отсутствием дефицита. Повторный заказ осуществляется при уменьшении запаса до критического уровня ( ). Момент времени осуществления заказа называется точкой заказа. На рис.18 показано изменение уровня запаса во времени при переменном спросе.

Н а рис. 19 показано изменение уровня запаса при постоянной интенсивности спроса d.

– уровень запасов, соответствующий точке заказа;

1 – точка заказа; 2 – получениязаказа; t_g – время доставки.

Рис. 18 Изменение уровня запаса во времени при переменном спросе

и фиксированном уровне заказа .

Р ис. 19 Изменение уровня запаса при постоянной интенсивности спроса d

₍ – средний уровень запаса; = – время расходования запаса;

(2) – точка получения запаса).

Чем меньше размер запаса , тем чаще необходимо размещать заказ, однако при этом средний уровень запасов уменьшается. С увеличением заказа средний уровень запаса повышается, но заказы возобновляются реже.

Управление запасами в общем случае состоит в воздействии на соотношение между пополнением и расходом. Цель управления заказами – оптимизация критерия, зависящего от расходов на хранение запасов, стоимость поставок, штрафов от дефицита и т.д.

Пусть К – затраты на заказ, h – затраты на хранение единицы запаса в единицу времени. Тогда затраты на пополнение запаса в единицах времени:

(II.35)

Затраты на хранение в единицах времени:

(II.36).

Окончательно однопродуктовая статистическая модель управления запасами будет иметь вид

min ( >0) (II.37)

Для решения модели (II.37) записываем достаточные условия минимума функции одной переменной .

,

откуда оптимальное значение размера запаса определяется выражением

, (II.38)

называемым формулой Уилсона. Оптимальные затраты равны

; (II.39)

заказ продукции возобновляется каждые

(II.40)

единиц времени.

Графическое решение модели (II.37) приведено на рис. 20.

Рис. 20 Графическое решение модели (II.37)

Пример II.3. Еженедельный спрос на товар составляет 100 ед. Затраты на размещение (исполнение) заказа составляют 1000 руб. Еженедельные затраты на хранение единицы товара составляют 5 копеек. Определить оптимальный размер заказа и цену заказа при сроке выполнения заказа 15 недель.

Решение. По формулам (4)-(6) имеем:

(1) – точка заказа, (2) – точка получения заказа;

=2000 ед.; =1500 ед.; t*=20 нед.; t₁(срок выполнения заказа)=15 нед.

Рис.21 Соотношение уровня заказа и удовлетворения спроса

при возобновлении заказа

Возобновление заказа должно происходить когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 15 недель, т.е. ед. (см. рис. 21).

Если срок выполнения заказа больше t*, например 22 недели, то возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 2 дня (22-20), т.е. ед. Это возможно при стабилизации работы системы управления запасами. В этом случае в любой момент времени имеется более одного еще не выполненного заказа (см. рис. 22).

Рис.22 Соотношение уровня заказа и удовлетворения спроса при стабилизации работы

системы управления запасами.

II-3.4.2. Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен

В модели управления запасами (II.37) не учитываются затраты на приобретение товаров (пополнение). Это возможно, если цена единицы продукции не зависит от размеров закупаемой партии. Обычно цена зависит от размера закупаемой партии (оптовые скидки).

Предположим в условиях задачи управления запасами, изложенной в II-3.4.1., что цена единицы продукции равна

(II.41)

где C₁>C₂, q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты в единицу времени на оформление, приобретение заказа и хранение запаса будут иметь вид (II.42).

Задача управления запасами будет иметь вид

(II.42)

(II.43)

Так как функции F₁ и F₂ отличаются на постоянную величину, не зависящую от то они достигают минимального значения в одной и той же точке, определяемой формулой:

а) б)

в)

Рис.23 Графическая иллюстрация решения задачи (II.39)

− решение задачи (II.43) будет зависеть от соотношения значений и q₁, где q₁ – решение уравнения

_F1 (II.44)

и определяется следующим образом:

(II-45)

Решение задачи (II.39) приведено на рис. 23 (а, б, в).

Пример II.4. Пусть в задаче управления запасами из примера II.3. C₁ = 2 рубля, C₂ = 1 рубль. Требуется определить оптимальный размер заказа в случае если q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка, может принимать три значения: q⁽¹⁾=2500 ед.; q⁽²⁾=1800 ед. и q⁽³⁾=7500 ед.

Решение. Так как = 2000 ед. (см. пример II.1) и 1800 = q⁽²⁾ < = 2000, то имеем случай q = q⁽²⁾ =1800; (сл а) ).

Если q=q⁽¹⁾ или q= q⁽³⁾, то <q⁽¹⁾ и <q⁽³⁾ и для определения необходимо решить уравнение (II.10).

Имеем

Следовательно, уравнение (II.10) имеет вид

Его решения

Нас интересует значение , то есть

единиц.

Итак, если q = q⁽¹⁾ = 2500 < q₁ (случай ‘б’), то

,

если q = q⁽³⁾ = 7500 единиц (случай ‘в’), то

.

II-3.4.3. Многопродуктовая статическая модель управления запасами с ограничениями на ёмкость склада

Пусть P – площадь складского помещения для хранения n видов продукции, причем площадь, выделяемая для хранения единицы продукции i-го вида, равна P_i (i=1,..,n).

Вводя те же обозначения, что и в разделе II-3.4.1, для каждого вида продукции, получаем многопродуктовую модель управления запасами с ограничением на ёмкость склада.

(II.46)

(II.47)

(дефицит не допускается) (II.48),

где d_i – спрос на продукцию i-го вида в единицу времени; K_i – затраты на выполнение заказа; h_i – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени.

Задача (II.46)-( II.48) является задачей выпуклого программирования, так как является выпуклой функцией, а множество планов ЗВП (II.46 - II.48) является выпуклым множеством в силу линейности ограничения (II.46).

Общее решение ЗВП (II.46)-( II.48) может быть найдено любым методом решения ЗВП.

В частности, для решения задачи (II.46)-( II.48) можно применить метод множителей Лагранжа, предварительно проверив выполнимость ограничения (II.47) для решения ЗУЗ без ограничений на ёмкость склада.

Действительно, используя формулу II.38, получим

i=1,…,n (II.49)

Если , то (II.49) является решением задачи (II.46)-( II.48), иначе ограничение (II.47) необходимо рассматривать как строгое, то есть

(II.47’)

Пример II.5. Пусть в задаче (II.46)-( II.48) n=1; K₁=10; d₁=2; h₁=0,3; P₁=1. Требуется определить оптимальный размер заказа для двух складов площадью P = 12 и P = 9 соответственно.

Решение. Для случая n = 1 задача имеет вид

По формуле II.38 (без ограничения на ёмкость склада)

Далее, если P = 12, то , следовательно, является решением задачи (II.46)-( II.48).

Если P = 9, то , следовательно, решением задачи

будет .

Пример II.6. Рассмотрим задачу управления запасами для случая двух видов продукции

(n =2), исходные данные которой приведены в следующей таблице:

Вид продукции	Ki, $	di, ед.	hi, $	Pi, м2
1	10	2	0,3	1
2	5	4	0,1	1

Общая площадь складского помещения составляет P = 25 кв.м. Требуется определить оптимальный размер заказа для каждой продукции.

Решение. Для случая n = 2 задача (II.46)-(II.48) имеет вид

или

(II.50)

Оптимальный размер заказа для каждой продукции без ограничения на ёмкость склада определяем по формуле II.38.

Так как , то необходимо решать задачу (II.50), учитывая ограничение на ёмкость склада как строгое, то есть

(II.51)

Выразим из 4.17 и подставим в (II.50).

(II.52)

Решим задачу (II.52) приближённо с помощью методов одномерной оптимизации. Пусть приближённое значение и h = 1.

Так как F(9) = 5,62; F(10) = 5,58; F(11) = 5,59 , то очевидно, что

.

Примем, что , тогда

При этом

II-3.4.4. Однопродуктовая динамическая модель управления запасами

В этой модели предполагается, что спрос на поставляемую (производимую) продукцию известен, но он может меняться от этапа к этапу. Например, предприятие производит партиями некоторые изделия. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу. Поэтому иногда лучше выполнять заказ нескольких месяцев одной партией (учитывая затраты на переналадку оборудования), а затем хранить, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда он должен быть отправлен. Необходимо составить план производства на указанные N месяцев с учетом затрат на переналадку оборудования, производство и хранение изделий.

Обозначим: j – номер периода (месяца), j=1,..,N;

– число изделий, производимых в j-й месяц;

x_j-1 – величина запаса к началу j-го месяца;

d_j – спрос на изделия в j-й месяц;

– затраты на переналадку, производство и хранение в j-й месяц, а именно:

(II.53)

где

– затраты на переналадку оборудования (либо оформление заказа) в j-м периоде;

– затраты на хранение единиц продукции;

h_j – затраты на хранение единицы запаса, переходящей из периода j в j+1;

– затраты на производство (закупку) единиц продукции в периоде j.

Кроме того, будем считать известными величины запасов к началу первого периода x₀ и к концу последнего периода x_N.

Задача УЗ состоит в том, чтобы найти план производства (закупки)

и хранения

удовлетворяющий уравнению баланса

(II.54)

и минимизирующий суммарные затраты за весь период

(II.55)

при очевидных дополнительных условиях

(II.56)

(II.57)

(II.58)

В общем случае задача (II.54) - (II.58) представляет собой задачу нелинейного программирования. Кроме того, если переменные могут принимать только целые значения, то получим задачу целочисленного нелинейного программирования.

Будем решать задачу (II.54) - (II.58) методом динамического программирования.

Обозначим – минимальные затраты за первые k периодов. Тогда справедливо уравнение Беллмана

(II.59)

Решение уравнения Беллмана (II.59) осуществляется в два этапа.

Пример II.7. Рассмотрим задачу управления запасами в течение одного квартала по месяцам (N=3), исходные данные которой приведены в таблице:

J	1	2	3
dj	3	6	2
Kj	6	8	7
hj	4	3	5

(II.60)

x₀ = 1; x₃ = 0.

Решение.

1-й этап решения уравнения Беллмана.

Пусть K=1, тогда

(II.61)

– минимальные затраты по управлению запасами в течение первого месяца при условии, что запас к концу первого месяца составит x₁ единиц.

На основании уравнения баланса (II.54) имеем

, т.е.

= x₁ + 2 (II.62)

оптимальное производство (пополнение) в первом месяце в зависимости от запаса к концу месяца.

Далее, т.к. то следовательно,

(II.63)

Пусть K=2, тогда – минимальные затраты по управлению запасами в течение двух первых месяцев квартала, при условии, что запас к концу второго месяца составит x₂ единиц. Подставляя в выражение для числовые данные, получим

(II.64)

Для определения строим таблицу II.1 для x₂ = {0, 1, 2}.

Обозначим

Таблица II.1

			K2( )+3x2+
	0	6	0	0	0	118	118
	1	5	8	0	7	99	114
	2	4	8	0	14	80	102
0	3	3	8	0	21	61	90	78	4
	4*	2	8	0	28	42	78*
	5	1	8	0	43	31	82
	6	0	8	0	58	20	86
	0	7	0	3	0	137	140
	1	6	8	3	7	118	136
	2	5	8	3	14	99	124
	3	4	8	3	21	80	112
1	4	3	8	3	28	61	100	96	5
	5*	2	8	3	43	42	96*
	6	1	8	3	58	31	100
	7	0	8	3	73	20	104
	0	8	0	6	0	156	162
	1	7	8	6	7	137	158
	2	6	8	6	14	118	146
	3	5	8	6	21	99	134
2	4	4	8	6	28	80	122	114	6
	5	3	8	6	43	61	118
	6*	2	8	6	58	42	114*
	7	1	8	6	73	31	118
	8	0	8	6	88	20	122

Наконец, пусть K = 3, тогда

(II.65)

где F₃^*(x₃) – минимальные затраты по управлению запасами в течение квартала.

Обозначим

и строим таблицу II.2.

Таблица II.2

x3	?3	x2	K3+ +F2*(x2)				F3*(x3)
	0	2	0	0	114	114
0	1	1	7	7	96	110	99	2
	2*	0	7	14	78	99*

2-й этап решения уравнения Беллмана.

Итак, из таблицы II.2 имеем, что

= 2; x₃ = 0; F₃^* = 99.

Далее из уравнения баланса находим

x₂ = x₃ + 2 = 0 - 2 + 2 = 0.

Из табл.II.1

(x₂ = 0) = 4.

Из уравнения баланса

x₁ = x₂ + 6 = 0 - 4 + 6 = 2.

Далее по формуле (II.62) находим

(x₁ = 2) = 2 + 2 = 4,

и из уравнения баланса имеем

x₀ = x₁ + 3 = 2 - 4 + 3 = 1,

что соответствует исходному запасу.

Итак, стратегия пополнения запасов состоит в следующем:

1-й месяц. = 4, из них 2 единицы покрывают спрос (x₀ = 1), 2 единицы остаются в запасе (x₁ = 2).

2-й месяц. = 4, что позволяет покрыть спрос данного месяца (x₁=2; d₂=6), запаса нет.

3-й месяц. = 2, что соответствует потребности данного периода (d₃ = 3).

ОС (оптимальная стратегия) =

ОТ (оптимальная траектория) = X^* = (x₀, x₁, x₂, x₃) = (1, 2, 0, 0).

Оптимальные расходы составляют 99 денежных единиц.

Методы и критерии принятия решений в условиях риска и неопределенности