4.3. Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для . принятия решений. Экспертные оценки альтернативных вариан­тов по критериям могут быть представлены как нечеткие множе­ства или числа, выраженные с помощью функций принадлежнос­ти. Для упорядочения нечетких чисел существует множество ме­тодов, которые отличаются друг от друга способом свертки и по­строения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами. Рассмотрим одну из математических постановок задач принятия решений на основе теории нечетких множеств.

В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оцен­ки альтернатив представляют собой степени соответствия этим поня­тиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁, а₂, ..., а_m,} и множество критериев С= {С₁, С₂, ..., С_n}, при этом оценки альтер­натив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множе­ствами:

С_i= {_Ci (a₁)/ _Ci, (a₂)/a₂, …, _Ci (a_m)/a_m}

Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:

D = С₁  C₂  ...  С_n.

Операция пересечения нечетких множеств может быть реали­зована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие мини­мума:

Лучшей считается альтернатива a^*, имеющая наибольшее зна­чение функции принадлежности

Если критерии С_i имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:

D=C₁^1  C₂^a2 ... _n^n,

где а_i - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:

Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

4.5. Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний аль­тернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютер­ная система, заключается в следующем. Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлеж­ности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической пе­ременной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х₁, х₂, ..., x_p, т.е. лингвистических переменных, задан­ных на базовых множествах и₁, и₂, .... u_p соответственно. Напри­мер, переменная х₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х₂ "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значе­ниями характеризует представления лица, принимающего реше­ние, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удов­летворительность" также является лингвистической. Ниже приве­ден пример высказывания :

d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

d₁: "Если x₁ = А₁, и x₂ = А_2i и ... х_р = А_рi то S = В_i". (4.1)

Обозначим пересечение (x₁ = А_1i  x₂ = А_2i ... х_р = А_рi) через х = А_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V= U₁ U₂ ...U_p; v = (u₁, и₂ ..., u_p); _Aij (u_j) — значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству А_ij.

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые мно­жества U и V через W. Тогда А_i — нечеткое подмножество W, в то время как В_i — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализа­ции [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н — нечеткое подмножество на W  I, w  W, i  I.

Аналогичным образом высказывания d₁, d₂,..., d_q преобразуют­ся в множества Н₁, Н₂, ..., Н_q. Их пересечением является множе­ство D:

D = H₁  H₂  ...  Н_q

и для каждого (w, i)  W  I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается не­четким подмножеством А из W, определяется на основе компози­ционного правила вывода:

G = А  D,

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С  I определяем -уровневое множество (  [0, 1]):

С_= {i | _c (i)    I}.

Для каждого С_ можно вычислить среднее число элементов — М(С_):

для множества из п элементов

для С_={a i  b}

при 0  a₁  b₁  а₂  b₂  ...  а_n  b_n  1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где _max — максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлет­ворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

1 Вильфредо Парето (1848-1923) – итальянский социолог и экономист.