Тема 8. Методы принятия решений на основе нечетких множеств

Элементы теории нечетких множеств могут успешно приме­няться для принятия решений в условиях неопределенности. Ос­нователь теории нечетких множеств Л. Заде еще в 1965 г. предре­кал широкое прикладное значение своей теории, написав по это­му поводу следующее: "Фактически нечеткость может быть клю­чом к пониманию способности человека справляться с задачами, которые слишком сложны для решения на ЭВМ".

4.1. Элементы теории нечетких множеств

Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств [l]. Пусть U— полное множество, охватывающее все объекты не­которого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяет­ся через функцию принадлежности _F (u), и  U. Эта функция отображает элементы U_i, множества U на множество веществен­ных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлеж­ности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа элемен­тов и_i, i = 1, 2, ..., п, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:

где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение _F относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на и_i).

В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:

Нечеткие множества широко применяются для формализации лингвистических знаний. Рассмотрим для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ста­вок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда воз­можно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив мно­жество высоких ставок. При использовании аппарата теории не­четких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении. Функция при­надлежности для элементов нечеткого множества F₁, соответству­ющих понятию "высокие процентные ставки" (рис. 4.1), будет иметь следующий вид:

Функция принадлежности к нечеткому множеству низких про­центных ставок запишется следующим образом:

4.2. Нечеткие операции, отношения и свойства отношений

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими мно­жествами, как и над обычными, можно выполнять математичес­кие операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множе­ства, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения может быть представлена следующим образом:

Операция объединения будет иметь следующий вид:

Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:

Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.

Нечеткие отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется под­множество прямого декартова произведения U  V, определяемое следующим образом:

где U = {u₁, u₂,..., и_l}, V {v₁, v₂,..., v_m}.

Допустим, что между элементами знаний, представленных не­четкими множествами F и G, существует связь, заданная прави­лом: "Если F, то G", при этом F  U, G  V. В логике высказыва­ний для представления правил подобного вида используется опе­рация импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых спо­собов заключается в представлении импликации, соответствую­щей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R, которое вычисляется следующим образом [2]:

Свойства нечетких отношений.

1. Объединение отношений

(R S)(u, v) = R(u, v)  S(u, v), и  U, v  V.

2. Пересечение отношений

(R S)(u, v) = R(u, v)  S(u, v), и  U, v  V.

3. Операция включения

(R  S)  R(u, v) S (u, v), u  U, v  V.

4. Свойство идемпотентности

RR = R, R R = R.

5. Коммутативность

R S = S R,R S = S R.

6. Ассоциативность

R (S Q) = (R S) Q.

R (S Q) = (R S Q.

7. Дистрибутивность

R (S Q) = (R S) (S Q).

R (S Q) = (R S) (SQ).

8. Рефлексивность

Если _R (и, и) = 1, отношение R — рефлексивное.

Если _R (и, и) < 1, отношение R — слабо рефлексивное.

Если _R (и, и) = 0, отношение R — антирефлексивное.

Если _R (и, и) > 0, отношение R — слабо антирефлекеивное.

9. Симметричность

_R (u, v) = _R (v, и); и, v  U.

10. Транзитивность

_R (u, v)  _R (u, z)  _R (z, v); u, v, z  U.