Практическое занятие №2 проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Цель работы - сформировать умение проверять гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.

1 Общие сведения

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

где и – параметры распределения.

График дифференциальной функции распределения называют нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис.1).

Рисунок 1. Нормальное распределение

Проверку гипотезы о нормальном законе распределения экспериментальных данных проводят с помощью:

1. Критерия согласия

Если выборочная асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где D(A) – дисперсия ассиметрии;

D (E) – дисперсия эксцесса,

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным. Обычно такую оценку проводят при объеме выборки меньше 20;

2 Гистограммы

Гистограмма – чертеж в прямоугольной системе координат, горизонтальная ось которой разбивается на m отрезков определенной ширины и на каждом отрезке строится прямоугольник с высотой пропорциональной числу результатов измерений, попавших в данный отрезок.

Эта фигура отражает вероятность распределения случайных величин по отдельным группам значений. В случае нормального закона распределения она имеет вид симметричного колокола;

3 - критерия (критерия Пирсона)

Согласно - критерию результаты измерений свободные от систематической ошибки группируют по интервалам количеством m таким образом, чтобы эти интервалы покрывали всю ось. Количество данных в каждом интервале должно быть достаточно большим.

Для каждого i-го интервала с границами (х_i-1; х_i) подсчитываем число результатов ni, попавших в этот интервал.

Затем вычисляем вероятность попадания в этот интервал при нормальном законе распределения:

(7)

где Ф – интеграл вероятностей или функция Лапласа;

S – выборочное среднеквадратичное отклонение;

Затем подсчитывается величина -критерия:

(8)

где m – число интервалов;

n – объем выборки

р_i – теоретическая вероятность попадания значений в i-ый интервал;

Если , найденного по таблице распределения при заданной вероятности и числе степеней свободы =m-3, то можно считать, что распределение вероятностей случайных ошибок в рассмотренной серии измерений не отличаются от нормального.

2 Порядок проверки гипотезы о законе распределения экспериментальных данных

Вариант 1

1. Диапазон изменения случайной величины в выборке делим на интервалы.

2. Определяем число элементов выборки, попавших в каждый интервал;

3. Находим вероятность попадания случайной величины в интервал по формуле:

4. Находим среднее значение ;

5. Определяем среднеквадратичное отклонение S;

6. По таблице находим значения функции Лапласа: наименьшее значение заменяем на –0,5, а наибольшее – 0,5. Так как в таблице указаны положительные значения функции Лапласа, то свое значение мы ищем как положительное, но в таблицу заносим со знаком «–»;

7. Рассчитываем вероятность попадания случайной величины в интервал по формуле (7);

8. Определяем критерий Пирсона по формуле (8);

9. Находим табличные значения критерия Пирсона при заданном уровне значимости и числе степеней свободы =m-3 и сравниваем табличные значения с расчетными. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза подтверждается.

Вариант 2

1 Диапазон изменения случайной величины в выборке делим на интервалы.

2 Определяем число элементов выборки, попавших в каждый интервал;

3 Находим среднее значение ;

4 Определяем среднеквадратичное отклонение S;

5 Вычисляем теоретические частоты по формуле

где h – ширина интервала

Составляем расчетную таблицу (значения функции (x) приведены в приложении).

Таблица 1. Расчетная таблица теоретических частот распределения

i

6 Сравниваем эмпирические и теоретические частоты. Составляем расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия 

i

По таблице критических точек распределения   (приложение), по уровню значимости   и числу степеней свободы (s – число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области  (;k).

Если - гипотеза о нормальном распределении подтверждается.