3 Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с методикой проверки гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.
2. Ознакомиться с порядком проведения проверки гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.
3. Выполнить расчеты по выбранному варианту проверки гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.
4. Устно подготовиться к ответам на контрольные вопросы.
4 Содержание отчета
1. Таблица исходных данных (результатов экспериментальных измерений) для проверки гипотезы о законе распределения.
2. Расчет статистических показателей и проверка гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.
3. Выводы о верности гипотезы о нормальном распределении.
5 Контрольные вопросы
1 Почему необходима проверка гипотезы о нормальном законе распределения исходной информации?
2 Почему производственная информация должна подчиняться нормальному закону распределения?
3 Как осуществляется проверка гипотезы о нормальном законе распределения?
4 Как используется критерий Пирсона при проверке гипотезы?
5 Покажите, как строится гистограмма и какова ее роль при проверке гипотезы.
6 Каковы выводы следует сделать в случае, если гипотеза о нормальном распределении подтвердилась?
7 Какие меры следует применять, если гипотеза не подтвердилась?
8 Какое свойство нормального закона распределения используется при проверке гипотезы?
6 Пример выполнения работы
Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости a = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.
xi |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
|
ni |
15 |
26 |
25 |
30 |
26 |
21 |
24 |
20 |
13 |
|
Решение.
1. Вычислим
и среднее квадратическое отклонение
2. Вычислим теоретические частоты учитывая, что n=200, h=2, S=4,695, по формуле
Составим расчетную таблицу.
i |
|
|
|
|
1 |
5 |
-1,62 |
0,1074 |
9,1 |
2 |
7 |
-1,20 |
0,1942 |
16,5 |
3 |
9 |
-0,77 |
0,2966 |
25,3 |
4 |
11 |
-0,35 |
0,3752 |
32,0 |
5 |
13 |
0,08 |
0,3977 |
33,9 |
6 |
15 |
0,51 |
0,3503 |
29,8 |
7 |
17 |
0,93 |
0,2589 |
22,0 |
8 |
19 |
1,36 |
0,1582 |
13,5 |
9 |
21 |
1,78 |
0,0818 |
7,0 |
3. Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия :
i |
|
|
|
|
|
1 |
15 |
9,1 |
5,9 |
34,81 |
3,8 |
2 |
26 |
16,5 |
9,5 |
90,25 |
5,5 |
3 |
25 |
25,3 |
0,3 |
0,09 |
0,0 |
4 |
30 |
32,0 |
2,0 |
4,0 |
0,1 |
5 |
26 |
33,9 |
7,9 |
62,41 |
1,8 |
6 |
21 |
29,8 |
8,8 |
77,44 |
2,6 |
7 |
24 |
22,0 |
2,0 |
4,0 |
0,2 |
8 |
20 |
13,5 |
6,5 |
42,25 |
3,1 |
9 |
13 |
7,0 |
6,0 |
36,0 |
5,1 |
Сумма |
200 |
|
|
|
|
=22,2
По
таблице критических точек распределения
,
по уровню значимости =
0,05 и числу степеней свободы
находим критическую точку правосторонней
критической области
(0,05;6)=12,6.
Так как =22,2 > = 12,6 гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Пример 2. Коробки с болтами упаковываются автоматически. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки взято 130 из 2000 упаковок, содержащихся в партии, и получены следующие данные об их весе:
Вес упаковки (гр.) |
Менее 975 |
975-1000 |
1000-1025 |
1025-1050 |
Более 1050 |
Всего |
Число упаковок |
6 |
38 |
44 |
34 |
8 |
130 |
Требуется используя критерий -Пирсона при уровне значимости =0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X – вес упаковок – распределена по нормальному закону. Построить на одном графике гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Решение
Теоретическое нормальное распределение имеет вид:
подставляем α=1012,5, σ2= 615,3846, σ=24,8069
Для расчета вероятностей pi попадания случайной величины в интервал [xi ; xi+1] используем функцию Лапласа:
в
нашем случае получаем:
Составим таблицу:
i |
Интервал [xi; xi+1] |
Эмпирические частоты ni |
Вероятности pi |
Теоретические частоты npi |
(ni-npi)2 |
|
1 |
Менее 975 |
6 |
0,0597 |
7,761 |
3,101 |
0,3996 |
2 |
975-1000 |
38 |
0,2431 |
31,603 |
40,922 |
1,2949 |
3 |
1000-1025 |
44 |
0,3829 |
49,777 |
33,374 |
0,6705 |
4 |
1025-1050 |
34 |
0,2431 |
31,603 |
5,746 |
0,1818 |
5 |
Более 1050 |
8 |
0,0597 |
7,761 |
0,057 |
0,0073 |
|
|
130 |
0,9885 |
128,5 |
|
|
Итого, значение статистики .
Определим
количество степеней свободы по формуле:
.
m – число интервалов (m = 5)
r– число параметров закона распределения (в нормальном распределении r = 2)
Т.е. k = 2.
Соответствующее
критическое значение статистики
Поскольку
,
гипотеза о нормальном распределении с
параметрами N(1012,5; 615,3846) согласуется
с опытными данными.
Ниже показана гистограмма эмпирического распределения и соответствующая нормальная кривая.
