Фазовое пространство в механике. Фазовые портреты маятников различной природы
В зависимости от
природы абстрактного объекта, используемого
в теории или модели реальности, способа
описания и числа характеристик состояния,
будет формироваться фазовое пространство
этой теории и его мерность. В механике
и классической физике состояние
материальной точки исчерпывающе
описывается (рис. 1.1) тремя пространственными
(x, y, z -
проекции радиуса-вектора 
)
и двумя временными (скорость –
и ускорение - 
)
характеристиками, а также собственной
неизменной величиной массы – m
и рассчитываемыми из них значениями
полной энергии – Еполн,
импульса – 
и момента
импульса – 
.
У двух взаимодействующих материальных
точек появляется дополнительная
характеристика состояния - сила 
.
На рис. 1.1. представлена схема количественного
описания в механике состояния двух
материальных точек i
и
j,
взаимодействующих только за счет
гравитации в реальном трехмерном
пространстве.
Рис. 1.1. Схема взаимодействия двух материальных точек i и j в
модели реального трехмерного пространства
В этом пространстве можно наблюдать только мгновенное расположение объектов, прошедшие и будущие их состояния в реальном пространстве ненаблюдаемы. Фазовое пространство, построенное на указанных характеристиках состояния, как на мерностях, позволяет создать фазовый портрет - многомерный графический образ всех достижимых состояний объекта. Трех- и менее мерные проекции этого пространственного образа делают эти состояния наблюдаемыми в виде привычных пространственных фигур. Продемонстрируем эти возможности фазового пространства на примере фазовых портретов простейших механических устройств – маятников различной природы (рис.1.2).
Фазовый портрет математического маятника с закреплением подвеса в верхней точке. Математический маятник - это абстрактный маятник, у которого отсутствует диссипация (рассеивание) энергии из-за полного отсутствия трения в шарнире подвеса, абсолютно жесткого подвеса (отсутствие рассеивания энергии за счет деформации) и отсутствия сопротивления среды - абсолютного вакуума. Поэтому все состояния, достижимые маятником, располагаются на замкнутой фазовой траектории, имеющей форму эллипса. Такая замкнутая фазовая кривая, начало цикла которой совпадает с его завершением, является графическим образом циклически устойчивого объекта (рис. 1.3).
Фазовый портрет физического маятника с закреплением подвеса в верхней точке. Физическим маятником называется маятник, у которого имеет место диссипация внутренней энергии, за счет наличия трения в шарнире подвеса, при преодолении сопротивления среды, например в процессе колебаний маятника на воздухе. И, наконец, при деформации не абсолютно жесткого подвеса физического маятника энергия направленного внешнего воздействия деформирующей силы переходит в теплоту, которая рассеивается в окружающей среде.
Рис.
1.2. Схемы маятника с верхним (а) и нижним
(б) расположением шарнира подвеса и
характеристики их количественного
описания с помощью амплитуды колебаний
х
и скорости
перемещения
груза маятника
Рис. 1.3. Фазовый портрет циклически устойчивого объекта –
математического маятника с верхним подвесом
а) б)
Рис. 1.4. Фазовые портреты физических маятников
с верхним подвесом (а) и нижним подвесом (б)
У всех физических, т.е. максимально близких к реальным, маятников, шарнир подвеса которых закреплен вверху, уровень диссипации может изменяться, но имеется особое состояние, которое притягивает остальные состояния – аттрактор (от англ. attractive - притягивать) (рисунок 1.4, а). Аттрактор – особое состояние объекта, к которому эволюционируют все остальные состояния. У физического маятника – это неподвижное положение (рисунок 1.2, а).
Фазовый портрет физического маятника с закреплением подвеса в нижней точке. Физический маятник, схема которого представлена на рисунке 1.2, б, представляет собой абсолютно неустойчивый объект, который самопроизвольно, при сколь угодно малом воздействии, выходит из своего нулевого положения. Но наиболее наглядно это демонстрирует его фазовый портрет (рисунок 1.4, б) При подведении к этому маятнику энергии извне в возрастающем количестве, чаще всего, в условиях резонанса, будет реализован фазовый портрет, изображенный на рисунке 1.4, б.
Фазовый портрет маятника с нижним подвесом (рисунок 1.4, б) схож с предыдущим (рисунок 1.4, а) тем, что начало фазовой траектории и не совпадает с ее концом. Однако этот фазовый портрет – геометрический образ неустойчивой системы, которая безмерно поглощает энергию извне с неограниченным ростом фазовой амплитуды - х и фазовой скорости - , что неминуемо приводит к утрате устойчивости − разрушению системы.
Анализ рассмотренных примеров позволяет считать объект циклически устойчивым в случае, когда его фазовая траектория замкнута, асимптотически устойчивым – при наличие аттрактора и неустойчивым – при незамкнутой фазовой траектории, сопровождающемся постоянном, ничем не ограниченным ростом характеристик состояния.