4.3 Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравнения конвекции следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Связь между температурой и энтальпией может быть установлена следующим образом.

Если предположить, что жидкость несжимаемая, т.е. , тогда - по законам термодинамики для идеального газа

Приведенные уравнения позволяют установить связь между полем температур и полем энтальпии.

Чтобы аналитически найти поля температур, энтальпий и скоростей и определить плотность теплового потока, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии. Будем полагать, что жидкость однородная, изотропная, физические параметры жидкости постоянны, энергия деформации жидкости мала, по сравнению с изменением внутренней энергии. Выделим в потоке жидкости неподвижный элементарный объём с ребрами dx,dy,dz. Через грани параллелепипеда теплота переносится теплопроводностью и конвекцией. Согласно уравнению конвективного теплообмена проекции плотности теплового потока на координатные оси будут равны

,

,

.

Подставляя полученные значения в уравнение теплопроводности, получим

Для несжимаемой жидкости

Если , тогда

.

Это и есть искомое уравнение энергии, описывающее распределение температур внутри движущейся жидкости.

Многочлен, стоящий в левой части уравнения, представляет собой полную производную от температуры по времени

Если , то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Как следует из уравнения энергии, температурное поле в движущейся среде зависит от составляющих скорости

Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые описывали бы изменение скорости во времени и пространстве.

Такими уравнениями и являются уравнения движения.

Уравнения движения. Вывод дифференциального уравнения движения сделаем для случая одномерного течения несжимаемой жидкости.

В ыделим в потоке вязкой жидкости элементарный объём с размерами . Скорость в потоке изменяется только в направлении оси у. Закон изменения скорости произволен. Вывод уравнения движения основан на втором законе Ньютона (сила равна массе, умноженной на ускорение). Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, можно разделить на массовые (объёмные) и поверхностные.

Массовые силы характеризуются вектором , м²/с. Значение этого вектора равно отношению силы, действующей на данную частицу к массе этой частицы. В дальнейших расчетах мы будем учитывать только силу тяжести . Значение поверхностных сил равно отношению силы, действующей на элемент поверхности, к величине площади этого элемента. К поверхностным силам относятся силы трения и силы давления.

Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодействующая сил трения.

Найдем проекции этих сил на ось х.

Сила тяжести:

.

Равнодействующая сил давления:

.

Равнодействующая сил трения:

.

Суммируя три силы, получаем проекцию на ось х, равнодействующую всех сил, приложенных к объёму:

.

Согласно второму закону механики эта равнодействующая сила равна произведению массы элемента на его ускорение, и учитывает силы инерции:

В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения в проекциях сил на оси х, y, z

.

Эти уравнения называют уравнениями Навье-Стокса.

Все слагаемые уравнений имеют размерность силы, отнесенной к единице объёма.

Так как в уравнения движения помимо входит ещё неизвестная величина давления р, то система уравнений не является замкнутой. Необходимо добавить ещё одно уравнение. Таким уравнением является дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности (неразрывности). Выделим в потоке движущейся жидкости неподвижный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающую через него в направлении осей x, y, z за время .

В направлении оси x в элементарный объём входит масса жидкости:

.