5.2 Безразмерные переменные и уравнения подобия
Помимо безразмерных величин
и безразмерных координат, составленных
из однородных физических величин, в
уравнения входят также безразмерные
комплексы, характеризующие процесс,
которые составлены из разнородных
физических величин. Этим комплексам,
называемым числами подобия, присвоены
имена ученых, внесших значительный
вклад в развитие гидродинамики или
теплопередачи.
1)
‑ число Нуссельта или
безразмерный коэффициент теплоотдачи.
Характеризует теплообмен на границе
стенка-жидкость.
2)
‑
число Пекле. Число характеризует
теплоту, переносимую конвекцией (в
числителе), а в знаменателе – теплоту,
переносимую теплопроводностью.
3)
‑
число Рейнольдса. Характеризует
соотношение сил инерции и сил вязкости.
4)
‑
число Грасгофа. Характеризует
подъёмную силу, возникающую в жидкости
вследствие разности плотностей.
5) Если принять, что
в выражении Грасгофа равно отношению
разности плотностей к плотности исходной
,
тогда получаем
-
число Архимеда.
6) Число Пекле можно представить как произведение двух безразмерных переменных:
Новая безразмерная величина называется
числом Прандтля
Pr
и характеризует подобие полей температур
и скоростей.
Число Прандтля целиком составлено из теплофизических величин, поэтому само является физическим параметром.
В зависимости от значений числа Pr жидкости делят на три группы:
- Жидкость с Pr << 1 (жидкие металлы);
- Теплоносители с Pr
1
(неметаллические капельные жидкости
при
больших температурах и газы);
- Жидкость с Pr > 1 (неметаллические капельные жидкости при
обычных температурах).
Учитывая, что критерий Пекле
,
уравнения подобия можно записать в
следующем виде:
Безразмерная температура:
Скорость: 
Безразмерные переменные в этих функциях можно разделить на два вида: определяемые и определяющие.
Определяемые – это числа, в которые
входят искомые зависимые переменные,
то есть
.
Определяющие – это числа, целиком
состоящие из независимых переменных и
постоянных величин, входящих в условия
однозначности, то есть
.
Числа подобия, составленные из наперёд заданных параметров математического описания процесса, называют критериями подобия.
5.3 Условия подобия физических процессов
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает бесчисленное множество конкретных процессов, принадлежащих к одному и тому же классу. Известны и другие дифференциальные уравнения, аналогичные по форме записи уравнению теплопроводности. Это уравнение электрического потенциала
Хотя по форме записи оба уравнения совпадают, физическое содержание величин, входящих в эти уравнения различно. Те явления природы, которые описываются одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями, но различны по своему содержанию, называют аналогичными.
Проведенный анализ системы безразмерных дифференциальных уравнений и условий однозначности делает более понятными общие условия подобия физических процессов. Такие условия можно сформулировать тремя правилами:
1. Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, то есть они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.
Первое условие говорит, что подобные процессы должны относиться к одному и тому же классу физических явлений. Помимо одинаковой физической природы подобные процессы должны характеризоваться одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями.
2. Условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме числовых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях.
Таким образом, запись размерных условий однозначности подобных процессов в общем виде должна быть идентичной.
3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение.
Т. е. первых двух условий недостаточно, чтобы установить физическое подобие. Необходимо добавить условие, что одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое значение
Согласно этому:
Три условия подобия составляют содержание теоремы Кирпичёва-Гухмана, разработанной в 1931 г.