20. Геометрические характеристики плоских сечений. Осевые моменты инерции плоских сечений относительно осей.

При растяжении и сжатии прочность и жесткость стержней, напряжения, возникающие в их поперечных сечениях, потенциальная энергия деформации зависят от площади поперечных сечений. Подобное наблюдается и при сдвиге.

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения.

При расчете на изгиб, кручение, сложное нагружение, устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений.

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

21. Центробежный момент инерции плоских сечений. Главные и главные центральные оси инерции

Центробежным моментом инерции сечения относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его

площади А сумма произведений элементарных площадок Da на их расстояние от этих осей, т.е.

Моменты инерции выражаются в см4, м4 и т.д.

Центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.Центробежный момент инерции сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.Центробежный момент инерции сложного сечения относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих же осей.Осевые и полярные моменты инерции сложного сечения равны сумме осевых и полярных моментов инерции составляющих частей относительно этой же оси или полюса.Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.

Относительно главных осей инерции центробежный момент равен нулю.Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю. Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.

Через любую точку в плоскости сечения можно провести соответствующие ей главные оси инерции. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести, т.е. главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей –главные центральные моменты инерции.

22. З ависимость между осевыми и центробежным моментами инерции при параллельном переносе осей

Пусть исходные (старые) оси z и y являются центральными. Новые оси z₁ и y₁ параллельны осям z и y и сдвинуты относительно их на a и b ( рис.). Будем считать, что значения J_z, J_y, J_zyотносительно центральных осей известны. Выразим координаты элементарной площадки dA в новой системе координат через старые координаты zи y(рис.):z₁ = z + b; y₁ = y + a .Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси z₁:

В полученном выражении – момент инерции J_z; – статический момент S_z сечения относительно центральной оси z, он равен нулю ( ). Следовательно, = + A .

Аналогично получим = + +A Из данных формул следует, что из всех осевых моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

Подставим теперь значения =y+a и =z+bв выражение центробежного момента инерции относительно осей z₁ и y₁

= = = +b +a +ab .

В полученном выражении = , = =0, так как ось z

центральная, = =0, так как ось у также центральная и =A .

Следовательно, = +abA .