Определение напряжений в наклонных сечениях при плоском напряжённом состоянии.
Выделим на теле элементарный параллелепипед. Пусть по его граням действуют только два главных напряжения 1и 2, а 3= 0, что соответствует плоскому напряженному состоянию. Определим относительные линейные деформации ребер параллелепипеда, используя принцип независимости действия сил.
Эти уравнения перепишем несколько в другом виде и решим их относительно главных напряжений и
Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани
элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, т.е. когда по этим граням, кроме нормальных напряжений, действуют также и касательные. Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменение прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид
Выражения (3.15), (3.17), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при плоском напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука при плоском напряженном состоянии. Аналогичные зависимости могут быть получены и для объемного напряженного состояния:
Уравнения (3.18) выражают обобщенный закон Гука при объемном
напряженном состоянии.
Под действием внешней нагрузки изменяется объем тела.
Главные напряжения. Главные площадки и определение их положений
При расчете инженерных конструкций нет необходимости определять напряжения по всем площадкам, проходящим через данную точку, а достаточно знать экстремальные их значения.
Исследуем
функцию
на экстремум. Для этого возьмем первую
производную
и приравняем ее к нулю
Отсюда
Определим сейчас положение площадок, по которым касательные
напряжения равны нулю, т.е. положение главных площадок.
Главные площадки – это площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют экстремальные значения.
Формула
дает значения углов
,
определяющих две взаимно перпендикулярные
главные площадки.
Для определения их положений площадки, в которых действуют напряжения и , следует повернуть на угол против часовой стрелки (при > 0) или по часовой стрелке (при < 0) Угол 2 находится в интервале от –90 до +90 и, следовательно, значение – от –45 до +45 . Поэтому поворот площадок всегда можно произвести на угол не больше 45.
Если
выразить
,
и
через
и
подставить его значение в формулу (3.7),
то получим
При
,
будет
составлять угол
с направлением
,
а при
- с направлением
Геометрические характеристики плоских сечений . Статический момент плоского сечения относительно осей.
При растяжении и сжатии прочность и жесткость стержней, напряжения, возникающие в их поперечных сечениях, потенциальная энергия деформации зависят от площади поперечных сечений. Подобное наблюдается и при сдвиге.
Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения.
При расчете на изгиб, кручение, сложное нагружение, устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений.
Возьмем произвольное сечение в системе координатных осей zy (рис. 5.1).
Статическим моментом сечения относительно некоторой оси называется предел суммы элементарных площадок на их расстояния от этой оси, т.е.
Статические
моменты выражаются в
Статический момент сложного сечения относительно некоторой
оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси.
Статические моменты могут принимать различные значения (положительные, отрицательные и равные нулю).
Если представить каждую элементарную площадку, как элементарную силу, то сумма произведений элементарных площадок на расстояние до оси составит алгебраическую сумму моментов всех сил относительно этой оси. По теореме Вариньона она должна равняться моменту равнодействующей относительно этой оси. Равнодействующей в этом случае будет суммарная площадь А сечения, и приложена она в центре тяжести сечения, а расстояние до оси равно координате центра тяжести zcили yc. Поэтому
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Относительно любой центральной оси статический момент равен нулю.
А через центр тяжести можно провести бесконечное множество осей.