26) Смешанное произведение векторов.

Рассмотрим упорядоченную тройку векторов .

Определение1.Смешанным произведением векторов называется число, определяемое следующим образом: , т.е. векторно перемножаем а и b и полученный вектор скалярно умножаем на вектор с.

Смешанное произведение есть скаляр. Выясним его геометрический смысл.

О пределение 2. Пусть -упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Приложим их к одной точке и построим параллелепипед, образующими рёбрами которого будут векторы . Если тройка векторов – правая (левая), то и параллелепипед будем называть правоориентированным (левоориентированным).

Определение 3. Объёмом ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах , называется число, обозначаемое , и равное объёму этого параллелепипеда, взятому со знаком плюс, если тройка – правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая.

Геометрический смысл смешанного произведения даёт следующая

Теорема 1. = .

Н аряду с параллелепипедом можно рассматривать ориентированный тетраэдр, и тогда для объёма ориентированного тетраэдра будет справедлива формула .

Введём прямоугольную СК ОXYZ.

Теорема 2. Пусть , , .Тогда

,

т.е. смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, строками которой являются координаты векторов . Знак определителя определяет ориентацию тройки: "+" – правая, "–" – левая ориентация.

Следствие 1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Теорема 3 (Свойства смешанного произведения).

1. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

.

2. Перестановка любых двух векторов меняет знак смешанного произведения:

.

3. Смешанное произведение линейно по каждому аргументу. Например, по второму:

.

4. (смешанное произведение ассоциативно относительно операции векторного произведения).

Действительно, с учётом свойства 1, имеем .

27) Линии первого порядка на плоскости.

Пусть на плоскости задана CK OXY . Будем говорить, что уравнение F(x, y) = 0 является уравнением линии L , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой другой точки плоскости .

Если , то уравнение вида Ax+By+C=0 называется уравнением 1-го порядка, а линия, которую оно определяет, называется линией первого порядка.

Теорема 1. Линии 1-го порядка на плоскости – прямые и только они.

Определение 1. Уравнение прямой вида Ax+By+C=0 называется общим уравнением прямой.

28) Различные уравнения прямой на плоскости.

Определение 1. Всякий ненулевой вектор, параллельный прямой d, будем называть направляющим вектором этой прямой.

Очевидно, что у прямой имеется бесчисленное множество направляющих векторов, состоящее из всех ненулевых векторов, коллинеарных какому либо направляющему вектору прямой. Если прямая задана уравнением Ax+By+C=0, где , то вектор будет направляющим вектором этой прямой.

Определение 2. Вектор 0 называется перпендикулярным прямой, если он перпендикулярен направляющему вектору этой прямой.

Если прямая задана уравнением Ax+By+C=0, где , то вектор будет перпендикулярен этой прямой.

Прямая может быть задана:

1. точкой и направляющим вектором а;

2. любыми двумя своими различными точками и ;

3. точкой и вектором 0, перпендикулярным прямой.

1 ) 2) 3)

П усть прямая задана точкой и направляющим вектором . Тогда для любой точки на прямой .

Записав последнее условие через отношение координат, мы получим каноническое уравнение прямой: .

Если мы условие запишем в виде , где t пробегает всё множество вещественных чисел , то получим параметрические уравнения прямой:

.

Е сли прямая задана двумя своими различными точками , , то за направляющий вектор можно взять вектор . Подставив в каноническое уравнение эти данные, получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и : .

Пусть теперь , – точки пересечения прямой с осями ОХ и ОY соответственно, подставляя координаты точек А и В в уравнение прямой, заданной двумя точками, получим уравнение , называемое уравнением прямой в отрезках.

Е сли прямая задана точкой и вектором , перпендикулярным прямой, то для любой точки на прямой вектор , т.е. , откуда получаем уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: .

Допустим, что прямая, общее уравнение которой есть Ax+By+C=0, не параллельна оси ОY. Тогда Разделив на , мы запишем уравнение этой прямой в виде Такое уравнение прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении , где есть угол, на который надо повернуть положительную полуось ОХ до совмещения с данной прямой, а есть ордината точки пересечения данной прямой с осью ОY.